[論文レビュー] The mixed deep energy method for resolving concentration features in finite strain hyperelasticity

Jan N. Fuhg, Nikolaos Bouklas|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 33被引用数 134

ひとこと要約

本稿では、変位と初Piオラ＝クリルホフ応力成分の両方を予測することで、Deep Energy Method (DEM) の性能を向上させる、混合Deepエネルギー法（mDEM）を提案する。応力出力を組み込むことで、有限ひずみ超弾性における応力および変位の集中特徴の解像度が向上し、穴、ノッチ、局所的荷重を含むベンチマーク問題においてFEM水準の精度を達成する。無構造なトレーニングポイントに適したデローニ型統合スキームを用いる。

ABSTRACT

The introduction of Physics-informed Neural Networks (PINNs) has led to an increased interest in deep neural networks as universal approximators of PDEs in the solid mechanics community. Recently, the Deep Energy Method (DEM) has been proposed. DEM is based on energy minimization principles, contrary to PINN which is based on the residual of the PDEs. A significant advantage of DEM, is that it requires the approximation of lower order derivatives compared to formulations that are based on strong form residuals. However both DEM and classical PINN formulations struggle to resolve fine features of the stress and displacement fields, for example concentration features in solid mechanics applications. We propose an extension to the Deep Energy Method (DEM) to resolve these features for finite strain hyperelasticity. The developed framework termed mixed Deep Energy Method (mDEM) introduces stress measures as an additional output of the NN to the recently introduced pure displacement formulation. Using this approach, Neumann boundary conditions are approximated more accurately and the accuracy around spatial features which are typically responsible for high concentrations is increased. In order to make the proposed approach more versatile, we introduce a numerical integration scheme based on Delaunay integration, which enables the mDEM framework to be used for random training point position sets commonly needed for computational domains with stress concentrations. We highlight the advantages of the proposed approach while showing the shortcomings of classical PINN and DEM formulations. The method is offering comparable results to Finite-Element Method (FEM) on the forward calculation of challenging computational experiments involving domains with fine geometric features and concentrated loads.

研究の動機と目的

• 古典的PINNおよびDEMが有限ひずみ超弾性における微細な応力および変位集中特徴を解像できない問題に対処する。
• 穴やノッチのような幾何的特異性を有する問題において、既存の物理に基づくニューラルネットワーク手法の限界を克服する。
• エネルギーに基づくディープラーニング手法を強化することで、固体力学における前向きおよび逆問題のためのより強固で多様性に富んだフレームワークを構築する。
• 無構造なトレーニング点分布に適合する数値統合スキームを導入し、複雑な幾何形状における柔軟性を向上させる。
• FEMに匹敵する精度のディープラーニング手法を用いて、集中荷重および応力リーダーを有する挑戦的な超弾性問題を正確に解くことを可能にする。

提案手法

• ニューラルネットワークの追加出力として初Piオラ＝クリルホフ応力テンソル成分を導入することで、Deep Energy Method (DEM) を拡張し、混合Deepエネルギー法（mDEM）を構築する。
• エネルギー最小化の原則に基づいて損失関数を定式化し、系の全ポテンシャルエネルギー（ひずみエネルギーおよび外力の仕事）を最小化する。
• ニューラルネットワークを用いて、変位場および応力場を同時に近似する。応力場は、ひずみエネルギー関数を変形勾配で微分することによって得られる。
• デローニ三角形分割に基づく数値統合スキームを実装し、特に穴やノッチを有する領域において、無構造なトレーニング点集合上での正確な統合を可能にする。
• 境界条件のうち、必須境界条件（変位）は損失関数内のペナルティ項により弱く強制するが、ノイマン条件（応力）は応力出力によって自然に近似される。
• 勾配降下法を用いてネットワークをトレーニングし、エネルギーに基づく損失関数を最小化する。一次微分を計算するために自動微分が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 応力および変位場の両方を予測する物理に基づくニューラルネットワークフレームワークが、有限ひずみ超弾性においてPINN や DEM よりも応力集中特徴をより正確に解像できるか。
• RQ2 ネットワーク出力として応力成分を含めることで、ノイマン境界条件および局所的応力場の近似がどのように向上するか。
• RQ3 デローニに基づく統合スキームが、ノッチや穿孔された領域のような複雑な幾何形状における無構造なトレーニング点分布を効果的に処理できるか。
• RQ4 mDEMが、幾何的特異性および集中荷重を有する問題において、有限要素法（FEM）と同等の解の精度を達成する程度はどの程度か。
• RQ5 局所的特徴の解像度が向上したことを踏まえ、mDEMは超弾性における逆問題およびパラメータ推定に効果的に応用可能か。

主な発見

• mDEMは、全テストケース（一軸引張、局所的引張、円形穴を有する梁）において、FEMと同等の応力および変位場の解像度を達成する。
• PINN や DEM とは異なり、mDEM は穴やノッチなどの幾何的不連続部における応力集中を的確に捉えている（円形穴を有する梁のケースで明確に示された）。
• デローニに基づく統合スキームにより、無構造なトレーニング点集合上でも安定かつ正確なエネルギー評価が可能となり、構造的グリッドが不要な複雑な領域への適用が可能になる。
• PINN や DEM は、残留最小化に依存し、低次の微分近似を用いるため、特に応力勾配が急な領域で顕著な誤差を示す。
• mDEM の損失関数は、局所的最小値に停滞を示すPINNとは異なり、安定して収束するため、最適化挙動が優れている。
• mDEM が直接応力場を予測できる能力により、特に局所的荷重状況においてノイマン境界条件の強制がより正確に実現される。