[論文レビュー] The MMP for deformations of Hilbert schemes of points on the projective plane

Chunyi Li, Xiaolei Zhao|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、射影平面の点のヒルベルトスキームの有効なコーン内におけるブリッジランド安定性の壁と安定基底locusの壁の完全な対応関係を確立し、σ-安定な複体のモジュライ空間が、チャネルを越えて滑らかで、既約的かつ双有理的であることを証明する。幾何的不変理論（GIT）を用いて、壁を越える操作がフラップに対応することを確認し、これらのモジュライ空間の双有理幾何学における重要な問題を解決するとともに、安定性パラメータの観点から基底locusの壁を明示的な式で与える。

ABSTRACT

We study the birational geometry of deformations of Hilbert schemes of points on the projective plane P2. We complete the picture in the paper of Daniele Arcara, Aaron Bertram, Izzet Coskun and Jack Huizenga by giving an explicit correspondence between the stable base locus walls on the Neron-Severi space and the actual walls on the Bridgeland stability space. We show that the birational geometry of a deformed Hilb P2 is different from that of Hilb P2.

研究の動機と目的

• P^2 上の点のヒルベルトスキームの双有理幾何学計画を完全に遂行するため、ネロン＝セベリ空間内におけるブリッジランド安定性の壁と安定基底locus分解の壁を明示的に結びつけること。
• モジュライ空間計画における最初の問題である、モジュライ空間 $Σ_{σ}(n)$ が滑らかで、既約な代数的多様体である条件を特定することに寄与し、σ が壁上にないとき、その空間が滑らかで、既約であることを証明すること。
• 同じチャネル内に位置する異なる安定性条件に対応するモジュライ空間が双有理的であることを示し、壁を越える操作が、ある正則ラインバンドルに関してフラップを引き起こすことを示すこと。
• ブリッジランド安定性空間内に存在する各半円型の壁に対応する、有効なコーン内における安定基底locusの壁を明示的な式で与えること、特に第二象限における場合を特に扱うこと。
• 変形されたヒルベルトスキームの双有理幾何学が、元のヒルベルトスキーム Hilb^n(P^2) とは異なること、および安定性条件がモジュライ空間の構造をどのように決定づけるかを強調すること。

提案手法

• 著者たちは、幾何的不変理論（GIT）を用いて、$Σ_{σ}(n)$ を商として構成し、σ が壁上にない場合には滑らかで、既約的であることを保証する。
• 彼らは、壁を越える写像の例外的部分集合を分析し、それぞれの壁を越える操作が、正則ラインバンドルに関してフラップに対応することを、変動GIT（VGIT）フレームワークを用いて示す。
• チャネルの境界における特性 $ρ_{s,t,k}$ を計算することで、ネロン＝セベリ空間内での対応する除数の明示的表現を導出し、たとえば中心が $-m - \frac{3}{2}$ にある壁に対して $mH - \frac{\Delta}{2}$ のような形をとることを示す。
• クーヴィー表現と $D^b(Coh(P^2))$ 上の安定性条件を用い、特に数的型 $(1,0,1-n)$ に注目することで、不安定化部分複体を分類し、壁候補となる必要十分条件の不等式を導出する。
• 係数 $A_k$ と $B_k$ の再帰的計算を用いて、$t \to 0^+$ の極限における除数類を決定し、$s$, $n$, $k$ を用いた基底locusの壁の明示的公式を導出する。
• 不等式系（補題 4.3）を適用して、不安定化部分複体の型の候補を制限し、壁計算において関係のあるもののみを考慮することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブリッジランド安定性空間内の壁と、Hilb^n(P^2) のネロン＝セベリ空間内における安定基底locus分解の壁との間の正確な対応関係は何か？
• RQ2 モジュライ空間 $Σ_{σ}(n)$ が滑らかで、既約的である条件は何か？
• RQ3 変形されたヒルベルトスキームの双有理幾何学は、元のヒルベルトスキーム Hilb^n(P^2) とどのように異なるか？
• RQ4 ブリッジランド安定性空間内での壁を越える操作は、最小モデルプログラム（MMP）の意味でフラップとして実現可能か？
• RQ5 安定性空間内に存在する与えられた半円型の壁に対応する、有効なコーン内における基底locusの壁を表す明示的公式は何か？

主な発見

• σ がどの壁上にもないとき、モジュライ空間 $Σ_{σ}(n)$ は次元 $2n$ の滑らかで、既約な多様体であり、それ以外の場合は空集合である。
• σ と σ' がいずれも壁上にないとき、$Σ_{σ}(n)$ と $Σ_{σ'}(n)$ は両方が空でない限り、互いに双有理的である。
• ブリッジランド安定性空間内での各壁を越える操作は、正則ラインバンドルに関してフラップに対応し、安定性の壁と基底locusの壁との間に一対一対応関係が成立する。
• 第二象限内に位置する中心が $-m - \frac{3}{2}$ である半円型の壁に対して、対応する基底locusの壁は除数 $mH - \frac{\Delta}{2}$ で張られる。
• $t \to 0^+$ の極限において、除数類は $-2s(2n - (k-1)(k+1))\left(\left(-\frac{2n+s^2}{2s} - \frac{3}{2}\right)H - \frac{1}{2}\Delta\right)$ で与えられ、期待される基底locusの壁と一致する。
• 著者たちは、不安定化部分複体の型を制限する不等式系（補題 4.3）を導出し、基底locus分解に寄与する関係のある壁のみが考慮されることを保証する。