[論文レビュー] The Mobius and Nilsequences Conjecture

Ben Green, Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Möbius関数 μ(n) が任意の多項式ニルシーケンス F(g(n)L) に対して強く直交することを証明しており、{1,...,N} 上の内積がすべての A > 0 に対して 1/log^A N で有界であることを示している。これにより、Möbius とニルシーケンス予想 MN(s) が確立され、素数の定数列に関する一般化された Hardy-Littlewood 予想の証明に重要な要素が得られる。

ABSTRACT

We show that the Mobius function mu(n) is strongly asymptotically orthogonal to any polynomial nilsequence n -> F(g(n)L). Here, G is a simply-connected nilpotent Lie group with a discrete and cocompact subgroup L (so G/L is a nilmanifold), g : Z -> G is a polynomial sequence and F: G/L -> R is a Lipschitz function. More precisely, we show that the inner product of mu(n) with F(g(n)L) over {1,...,N} is bounded by 1/log^A N, for all A > 0. In particular, this implies the Mobius and Nilsequence conjecture MN(s) from our earlier paper Linear equations in primes for every positive integer s. This is one of two major ingredients in our programme, outlined in that paper, to establish a large number of cases of the generalised Hardy-Littlewood conjecture, which predicts how often a collection \psi_1,...,\psi_t : Z^d -> Z of linear forms all take prime values. The proof is a relatively quick application of the results in our recent companion paper on the distribution of polynomial orbits on nilmanifolds. We give some applications of our main theorem. We show, for example, that the Mobius function is uncorrelated with any bracket polynomial. We also obtain a result about the distribution of nilsequences n -> a^nxL as n ranges only over the primes.

研究の動機と目的

• すべての正の整数 s に対して、Möbius とニルシーケンス予想 MN(s) を確立すること。
• Möbius関数と多項式ニルシーケンスとの間の強い直交性を、ニル多様体上で示すこと。
• 素数の定数列に関する一般化された Hardy-Littlewood 予想を証明するための基盤的結果を提供すること。
• 高階のニルシーケンスおよびブラケット多項式との関係におけるMöbius関数の振る舞いの理解を拡張すること。

提案手法

• 単純連結なノルム的可解リー群における多項式軌道の等分布に関する補足論文の結果を用いる。
• ノルム的群および同調的力学の理論を用いて、系列 F(g(n)L) を分析する。
• ニル多様体 G/L 上のリプシッツ関数 F を用いて、ニルシーケンスの振動を制御する。
• 大スクリーブおよびスペクトル法を適用して、Möbius関数との内積を有界化する。
• 単純連結なノルム的可解リー群 G への多項式系列 g: Z → G の構造を利用する。
• 任意の A > 0 に対して 1/log^A N の減衰率を確立し、強いキャンセルを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Möbius関数はニル多様体上の多項式ニルシーケンスと直交するか？
• RQ2 Möbius とニルシーケンス予想 MN(s) はすべての s ≥ 1 に対して証明可能か？
• RQ3 μ(n) と F(g(n)L) の内積の定量的減衰率は何か？
• RQ4 Möbius関数はブラケット多項式と相関するか？
• RQ5 n が素数に渡るとき、ニルシーケンス a^n x L の分布はいかなるものか？

主な発見

• μ(n) と F(g(n)L) の内積は、すべての A > 0 に対して 1/log^A N で有界であり、強い直交性が証明される。
• Möbius関数は任意のブラケット多項式と相関しない。これは、これらの多項式がニルシーケンスの特別な場合であるためである。
• 本結果により、任意の正の整数 s に対して Möbius とニルシーケンス予想 MN(s) が確認される。
• 与えられた条件下で、nilsequence n ↦ a^n x L の分布は、素数 n に制限したとき等分布する。
• 証明は、補足論文で確立されたニル多様体上での多項式軌道の等分布に依存する。
• 1/log^A N の減衰率はすべての A > 0 に対して一様に成り立ち、和におけるほぼ確実なキャンセルを示唆する。