[論文レビュー] The Mobius disjointness conjecture for distal flows

Jianya Liu, Peter Sarnak|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、解析的数論と力学系の技法を用いて、2次元トーラス上の非線形で不連続な力学系（特に滑らかなスケアプロダクト $T(x,y) = (ax + \alpha, cx + dy + h(x))$ で、$h$ が特定の減衰条件を満たす解析的関数であるもの）に対して、Möbius関数の線形的非接続性を証明する。有限バージョンのVinogradov法、フーリエ解析、および定常位相法を用い、Birkhoff平均が収束しない不規則な系（すなわち、準正則でない系）に対しても、Möbius非接続性が成り立つことを示し、従来の準正則または正則な系に限らない一般化を達成する。

ABSTRACT

We summarize main results in our paper "The Mobius function and distal flows", and give a direct proof with rate of that the Mobius function is disjoint from Furstenberg's irregular system. This will be published in the Proceedings of the Sixth ICCM, held in Taipei in 2013.

研究の動機と目的

• 非線形的で不規則的かつ不連続な力学系にまで、Möbius非接続性の予想を拡張すること。
• 回転パラメータ $\alpha$ がDiophantine条件を満たさない場合でも、解析的非線形性 $h(x)$ を持つ2次元トーラス上の滑らかなスケアプロダクト力学系に対して、Möbius関数の線形的非接続性を確立すること。
• 不規則系におけるBirkhoff平均の収束失敗を克服するため、Bourgain-Sarnak-Zieglerの有限Vinogradov法をフーリエ解析および定常位相と組み合わせた新しい解析的手法を開発すること。
• Furstenbergの例に同相な零エントロピー不連続系を含む広範なクラスの系に対して、予想が成り立つことを示し、既知のノルマンフォールドやアフィントーラルフローの結果を一般化すること。

提案手法

• スケアプロダクト力学系の構造的分解と共役を用いて、問題をトーラスの場合に還元する。
• Bourgain-Sarnak-Zieglerの有限バージョンのVinogradov法を用い、Möbius関数を含む指数和を扱う。
• Poisson和公式および定常位相法を用いて、$h(x)$ の急速に減衰するフーリエ係数を持つ指数和を推定する。
• 非線形位相関数 $e(\phi(x))$ のフーリエ展開において、係数 $a_l(c_1)$ を部分積分により推定し、$|a_l(c_1)| \ll C^2 / l^2$ を得る。
• 複数の周波数項を扱うために、この手法を反復適用し、$K$ が $\alpha$ の連分数近似に関連するとき、$C^{2(K-1)}$ を含む評価を得る。
• DavenportおよびHuaの古典的結果を用いて、$n \leq N$ における指数和の推定を行い、係数に依存しない $O(N \log^{-A} N)$ の有界性を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形的で不連続的かつ零エントロピーの力学系（2次元トーラス上）に対し、Birkhoff平均が存在しない不規則系であっても、Möbius非接続性の予想は成り立つか？
• RQ2 回転パラメータ $\alpha$ がDiophantine条件を満たさない場合でも、Möbius関数とその系との非接続性は確立可能か？
• RQ3 Möbius関数の文脈において、非線形関数の急速に減衰するフーリエ係数を持つ指数和を制御するために、どのような解析的手法が有効か？
• RQ4 Bourgain-Sarnak-Ziegler法は、アーベル群でないか、非線形な零エントロピー力学系にまで、どの程度拡張可能か？
• RQ5 Möbius関数に限らず、Liouville関数などの他の乗法的関数に対しても、非接続性の結果を一般化できるか？

主な発見

• 定理2.1で示されたように、零エントロピーのコンパクトアーベル群上のすべてのアフィン線形力学系に対して、Möbius関数は線形的に非接続であり、収束速度の定量的評価が得られる。
• 定理2.2で示されたように、解析的関数 $h$ が $|\hat{h}(m)| \ll e^{-\tau|m|}$ および $|\hat{h}(m)| \gg e^{-\tau_2|m|}$ を満たす $\mathbb{T}^2$ 上の非線形スケアプロダクト $T(x,y) = (ax + \alpha, cx + dy + h(x))$ に対して、Möbius関数は線形的に非接続である。
• この結果は、$\alpha$ がDiophantineでない場合を含め、すべての $\alpha$ に対して成り立つため、Birkhoff平均が収束しない不規則系をカバーする。
• 証明により、$|\widetilde{S}(N)| \ll C^{2(K-1)} \cdot \sup_{l_1,\dots,l_{K-1}} \left| \sum_{n \leq N} \mu(n) e(n l_1 \theta_1 + \cdots + n l_{K-1} \theta_{K-1}) \right|$ の評価が得られ、$C^{2(K-1)} \leq \log N$ が成り立つ。
• 内側の指数和は、DavenportおよびHuaの古典的結果により、任意の $A > 0$ に対して係数に依存せず $O(N \log^{-A} N)$ で有界である。
• この手法は、Furstenbergの不規則的で不連続的かつ零エントロピーの系に対しても適用可能であり、そのMöbius非接続性が証明される。さらに、零エントロピーのノルマンフォールド上のアフィン線形力学系に対しても拡張可能である（定理2.3）。