[論文レビュー] The model companions of set theory

Giorgio Venturi, Matteo Viale|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、クラスにわたるウーディン・カードナルの仮定の下で、$H_{\omega_1}$（帰納的可算集合）の1階理論が、$\Delta_0$-論理式および普遍的ベア集合を表す述語を含む拡張された記号系において、宇宙 $V$ の1階理論のモデル同伴（model companion）であることを確立する。また、$\Pi_2$-文が $V$ から強制可能（forcible）であることは、$V$ の理論の普遍的断片と整合的であることに同値であり、かつ、$V$ の理論のモデル同伴において成立するにも同値であることを示している。

ABSTRACT

This is an introductory paper to a series of results linking generic absoluteness results for second and third order number theory to the model theoretic notion of model companionship. Specifically we develop here a general framework linking Woodin's generic absoluteness results for second order number theory and the theory of universally Baire sets to model companionship and show that (with the required care in details) a $Π_2$-property formalized in an appropriate language for second order number theory is forcible from some $T\supseteq\mathsf{ZFC}+$large cardinals if and only if it is consistent with the universal fragment of $T$ if and only if it is realized in the model companion of $T$. In particular we show that the first order theory of $H_{ω_1}$ is the model companion of the first order theory of the universe of sets assuming the existence of class many Woodin cardinals, and working in a signature with predicates for $Δ_0$-properties and for all universally Baire sets of reals. We will extend these results also to the theory of $H_{\aleph_2}$ in a follow up of this paper.

研究の動機と目的

• モデル理論におけるモデル同伴と集合論における一般的絶対性の間の深い関係を確立すること。
• クラスにわたるウーディン・カードナルの仮定の下で、$H_{\omega_1}$ の1階理論が、$V$ の1階理論のモデル同伴であることを示すこと。
• $\Delta_0$-論理式および普遍的ベア集合を表す述語を含む拡張記号系で集合論を形式化し、モデル間での意味的明確性を保証すること。
• $\Pi_2$-文が強制可能であることと、$V$ の理論の普遍的断片と整合的であることの同値性を示すこと。
• 今後の研究において $H_{\aleph_2}$ への結果の拡張を基盤づけること。

提案手法

• 集合論の1階言語に、$\Delta_0$-論理式および普遍的ベア集合の再帰的可算集合を表す述語を追加し、モデル間での解釈可能性を保証すること。
• ロビンソンのモデル同伴の概念と無限強制を用いて、理論のモデル同伴を特徴づけること。
• ウーディンの2階数論における一般的絶対性の結果を応用し、$V$ の理論の普遍的断片と整合的である$\Pi_2$-文が、モデル同伴で実現されることを示すこと。
• クラスにわたるウーディン・カードナルの仮定の下で、$V$ の理論のモデル同伴が正確に $H_{\omega_1}$ の理論であることを確立すること。
• $\Pi_2$-文が $V$ から強制可能であることと、$V$ の理論の普遍的断片と整合的であることの同値性を証明すること。
• モデル同伴が、ロビンソンの無限強制における無限に一般的な構造（infinitely generic structures）のモデルであることを示す事実を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル理論におけるモデル同伴は、集合論における一般的絶対性とどのように関係するか？
• RQ2 記号系に $\Delta_0$-論理式および普遍的ベア集合の述語を含む場合、$H_{\omega_1}$ の1階理論は $V$ の1階理論のモデル同伴であるか？
• RQ3 $\Pi_2$-文の強制可能性は、$V$ の理論の普遍的断片と整合的であることによって特徴づけられるか？
• RQ4 大基数、特にクラスにわたるウーディン・カードナルは、$H_{\omega_1}$ の理論が $V$ の理論のモデル同伴であることを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 普遍的ベア集合を含む拡張記号系は、意味的明確性を保ち、モデル理論的分析を支援する役割を果たすか？

主な発見

• クラスにわたるウーディン・カードナルの仮定の下で、$\Delta_0$-論理式および普遍的ベア集合の述語を含む拡張記号系において、$H_{\omega_1}$ の1階理論は $V$ の1階理論のモデル同伴である。
• 拡張記号系における $\Pi_2$-文は、$V$ から強制可能であることと、$V$ の理論の普遍的断片と整合的であることの同値である。
• $\Pi_2$-文が $V$ の理論のモデル同伴で実現されることと、$V$ の理論の普遍的断片と整合的であることの同値である。
• $V$ の理論のモデル同伴は、正確に $H_{\omega_1}$ の理論であり、拡張記号系においてモデル完全（model complete）である。
• 与えられた大基数仮定の下で、$\Pi_2$-文の強制可能性は、$V$ の理論の普遍的断片と整合的であることと正確に一致する。
• 今後の研究で $H_{\aleph_2}$ への結果の拡張がなされ、同様に一般的絶対性とモデル同伴の間の関係が成立すると予想される。