[論文レビュー] The modelling and analysis of fractional-order control systems in frequency domain

Ivo Petráš, Ľ. Dorčák+3 more|ArXiv.org|Aug 24, 2000

Advanced Control Systems Design被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数階制御系を分数階伝達関数を用いて周波数領域でモデル化・分析するフレームワークを提案する。安定性解析はボーデ線図およびニコルス線図を用いて実施される。数値例により、$PI^\lambda D^\delta$ 型分数階制御器が古典的PID制御器に比べて柔軟性とロバスト性に優れていることが示され、周波数応答解析によって安定性が確認された。

ABSTRACT

This paper deals with fractional-order controlled systems and fractional-order controllers in the frequency domain. The mathematical description by fractional transfer functions and properties of these systems are presented. The new ways for modelling of fractional-order systems are illustrated with a numerical example and obtained results are discussed in conclusion.

研究の動機と目的

• 分数階伝達関数を用いた分数階制御系の周波数領域モデリング手法の開発。
• 古典的制御理論、特にボーデおよびニコルス法による分数階系への安定性解析の拡張。
• 分数階 $PI^\lambda D^\delta$ 制御器の設計および解析により、動的性能の向上を実証すること。
• 所定の安定性および減衰度の指標を設定した数値例を通じて、提案フレームワークの妥当性を検証すること。
• 分数階制御器が整数階制御器と比較してロバスト性を示し、質的に異なる動的挙動を示すことを示すこと。

提案手法

• 一般化された伝達関数 $G_s(j\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{m} b_k (j\omega)^{\alpha_k}}{\sum_{k=0}^{n} a_k (j\omega)^{\beta_k}}$ を用いて分数階系をモデル化する。ここで $\alpha_k, \beta_k \in \mathbb{R}$ である。
• 周波数領域における分数階 $PI^\lambda D^\delta$ 制御器を $G_c(j\omega) = K + \frac{T_i}{(j\omega)^\lambda} + T_d (j\omega)^\delta$ として定義する。ここで $\lambda, \delta \geq 0$ である。
• 実験的周波数応答データからシステムパラメータを同定するために、最小二乗法基準 $Q = \sum_{m=0}^{M} W^2(\omega_m) |F(\omega_m) - G_s(j\omega_m)|^2$ を用いる。
• 安定性を評価するためにボーデおよびニコルス周波数応答法を適用する。システムは、ニコルス線図が臨界点 $(-1, i0)$ を正しい方向に囲む場合に安定である。
• 所望の動的挙動を得るための制御器パラメータの調整に、安定性指標 ($S_t = 2.0$) および減衰比 ($\xi = 0.4$) を用いる。
• 複素数の極および零点を有する制御器設計を容易にするために、制御器を $G_c(j\omega) = C \frac{((j\omega)/\omega_n)^{\delta+\lambda} + 2\xi (j\omega)^\lambda / \omega_n + 1}{(j\omega)^\lambda}$ として再定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された伝達関数を用いて、分数階制御系を周波数領域で効果的にモデル化する方法は何か？
• RQ2 分数階制御系の安定性条件は何か？ また、ボーデ線図およびニコルス線図を用いてどのように評価できるか？
• RQ3 分数階制御系において、$PI^\lambda D^\delta$ 制御器は古典的PID制御器に比べて制御性能をどのように向上させるか？
• RQ4 非整数階の指数 $\lambda$ および $\delta$ がシステムの動的挙動およびロバスト性に与える影響は何か？
• RQ5 記憶性および歴史的性質を有する分数階制御系を分析・設計するため、周波数領域手法を信頼性高く拡張できるか？

主な発見

• 伝達関数 $G_s(j\omega) = \frac{1}{0.8(j\omega)^{2.2} + 0.5(j\omega)^{0.9} + 1}$ を有する分数階系が、周波数領域で効果的にモデル化および解析された。
• 安定性指標 $S_t = 2.0$ および減衰比 $\xi = 0.4$ を達成するために、$G_c(j\omega) = 50.0 + 5.326(j\omega)^{1.286}$ として $PD^\delta$ 制御器が設計された。
• ニコルス線図およびボーデ線図（図2および図3）により、閉ループ系の安定性が確認され、ニコルス曲線が臨界点 $(-1, i0)$ の右側を通った。
• 提案されたフレームワークにより、周波数領域解析を用いたロバストな制御器設計が可能となり、古典的PID制御器に比べて $PI^\lambda D^\delta$ 制御器がより高い柔軟性を示した。
• 分数階制御器はロバスト性を示し、整数階制御器では達成できない質的に異なる動的現象を誘発できる。
• 二次誤差基準 $Q$ の最小化によるパラメータ同定が、実験的データからシステムの周波数応答を効果的に捉えるのに有効であった。