[論文レビュー] The modified logarithmic Sobolev inequality for quantum spin systems: classical and commuting nearest neighbour interactions

Ángela Capel, Cambyse Rouzé+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Quantum many-body systems参考文献 109被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、古典的または可換な最近接スピン相互作用を有する量子スピン系に対して、系サイズに依存しない最初の修正対数ソボレフ不等式（MLSI）を確立し、空間的混合性の下で平衡状態への指数的収束および有限ブロック上での急速な減衰を証明する。主な貢献は、収束を局所的およびグローバルな段階に分解する新しい「はがし（peeling）」技法の導入であり、これにより効率的な量子ギブス状態の準備と、量子情報分野における新たな応用が可能になる。

ABSTRACT

Given a uniform, frustration-free family of local Lindbladians defined on a quantum lattice spin system in any spatial dimension, we prove a strong exponential convergence in relative entropy of the system to equilibrium under a condition of spatial mixing of the stationary Gibbs states and the rapid decay of the relative entropy on finite-size blocks. Our result leads to the first examples of the positivity of the modified logarithmic Sobolev inequality for quantum lattice spin systems independently of the system size. Moreover, we show that our notion of spatial mixing is a consequence of the recent quantum generalization of Dobrushin and Shlosman's complete analyticity of the free-energy at equilibrium. The latter typically holds above a critical temperature Tc. Our results have wide-ranging applications in quantum information. As an illustration, we discuss four of them: first, using techniques of quantum optimal transport, we show that a quantum annealer subject to a finite range classical noise will output an energy close to that of the fixed point after constant annealing time. Second, we prove Gaussian concentration inequalities for Lipschitz observables and show that the eigenstate thermalization hypothesis holds for certain high-temperture Gibbs states. Third, we prove a finite blocklength refinement of the quantum Stein lemma for the task of asymmetric discrimination of two Gibbs states of commuting Hamiltonians satisfying our conditions. Fourth, in the same setting, our results imply the existence of a local quantum circuit of logarithmic depth to prepare Gibbs states of a class of commuting Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 系サイズに依存しない修正対数ソボレフ不等式（MLSI）を、古典的または可換な最近接スピン相互作用を有する量子スピン系に対して確立すること。
• 空間的混合性および局所的急速減衰条件の下で、相対エントロピーにおける指数的収束が平衡状態に成立することを証明すること。
• 動的混合性の性質と平衡状態における相関関数の減衰を、ドゥブリシニとショロマンの完全解析的性質の量子一般化を用いて結びつけること。
• 量子情報分野における新たな応用、特に量子アニーリング、濃縮限界、仮説検定、および効率的なギブス状態準備を含む開発すること。
• 「はがし（peeling）」法を、収束プロセスを局所的およびグローバルな段階に分解する新しい手法として導入すること。

提案手法

• 「はがし（peeling）」戦略を導入：まず有限サイズの格子立方体上での急速な収束を解析し、有限ブロックにおけるMLSIに依存する。
• 新たに導出された相対エントロピーの近似的テンソル分解を用いて、空間的混合性の下でのグローバル収束ステップを制御する。
• 空間的混合性が、平衡状態における自由エネルギーの量子一般化されたドゥブリシニとショロマンの完全解析的性質から導かれるこを確立する。
• 提示された条件下で、系サイズにわたって一様に成立する修正対数ソボレフ不等式が成立することを証明する。
• 量子最適輸送技法を用いて、量子アニーリングにおける混合時間とノイズ耐性の関係を関連付ける。
• 可換ハミルトニアンのギブス状態を、深さ O(ln(|Λ|)ε⁻¹) の局所的量子回路により、ε トレース距離内に効率的に準備する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的または可換な相互作用を有する量子スピン系に対して、系サイズに依存しない修正対数ソボレフ不等式を証明できるか？
• RQ2 ギブス状態の空間的混合性が、このような系において相対エントロピーにおける平衡状態への急速な収束を示唆するか？
• RQ3 「はがし（peeling）」技法を用いて、格子上における量子マコフ過程の収束を分解し制御できるか？
• RQ4 このMLSIが、ギブス状態準備や量子アニーリングなどの量子情報タスクに与える影響は何か？
• RQ5 古典的相関関数の減衰条件の量子一般化は、動的混合性の性質とどのように関係するか？

主な発見

• 古典的または可換な最近接スピン相互作用を有する量子スピン系に対して、系サイズに依存しない最初の条件なしの修正対数ソボレフ不等式（MLSI）の証明が確立された。
• 空間的混合性および局所的急速減衰の下で、相対エントロピーにおけるギブス状態への指数的収束が証明され、収束時間は系サイズに対して対数的にスケーリングする。
• 空間的混合性が、平衡状態における自由エネルギーの量子一般化されたドゥブリシニとショロマンの完全解析的性質から導かれることが示された。
• 可換なギブス状態の非対称区別において、量子シュタイン補題の有限ブロック長補正が証明された。
• リプシッツ連続な観測量に対してガウス型濃縮不等式が導出され、条件を満たす高温度ギブス状態において、固有状態熱平衡仮説が成立することが示された。
• 可換ハミルトニアンのギブス状態を、深さ O(ln(|Λ|)ε⁻¹) の局所的量子回路により、ε トレース距離内に効率的に準備する回路が構成された。