[論文レビュー] The modified Mellin transform of powers of the zeta-function

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Feb 1, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$k \in \mathbb{N}$ に対して $\mathcal{Z}_k(s) = \int_1^\infty |\zeta(1/2 + ix)|^{2k} x^{-s} dx$ として定義される修正メリン変換を調査し、その解析接続と平均平方推定を確立する。特に $k=1$ および $k=2$ に注目する。主な貢献は、$\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ である8次モーメントの上限が、$\mathcal{Z}_2(s)$ の平均平方推定とスペクトル積分平均と同値であることを証明し、リーマンゼータ関数のモーメントとスペクトル理論を結びつける。

ABSTRACT

The modified Mellin transform ${\cal Z}_k(s) = \int_1^\infty |ζ(1/2+ix)|^{2k}x^{-s}{ m d} x (k = 1,2,...)$ is investigated. Analytic continuation and mean square estimates of ${\cal Z}_k(s) $ are discussed, as well as connections with power moments of $|ζ(1/2+ix)|$, with the special emphasis on the cases $k = 1,2$.

研究の動機と目的

• 修正メリン変換 $|\zeta(1/2 + ix)|^{2k}$ の $\mathcal{Z}_k(s)$ の解析接続と平均平方挙動を研究すること。
• $|\zeta(1/2 + it)|$ の $2k$-次のモーメントの上限を、$\mathcal{Z}_k(s)$ の平均平方推定と関連するスペクトル積分に結びつけること。
• $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ である8次モーメントの上限と、$\mathcal{Z}_2(s)$ の平均平方推定および $I(T,G)$ と呼ばれるスペクトル平均との同値性を確立すること。
• リーマンゼータ関数の臨界線における値の分布を理解するにあたり、$\mathcal{Z}_k(s)$ が果たす役割を明確にすること。

提案手法

• $\mathcal{Z}_k(s)$ の解析接続は、定理1を用いて $|\zeta(1/2 + it)|$ のモーメントの上限と結びつけられ、半平面上 $\Re(s) > c$ での収束が $L^2$-型のモーメント推定と関連している。
• $\mathcal{Z}_k(s)$ の平均平方推定は、コーシー・シュワルツの不等式と既知の $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ の境界、特に $k=2$ の場合に用いられる。
• 定理6の証明では、恒等式 $\int_T^{2T} |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ を用いて8次モーメントの境界を導出し、積分表現とスペクトル理論に依拠する。
• ガウス型重みを含む $I(T,G)$ の明示的公式が、$\mathcal{Z}_2(s)$ をスペクトル理論に結びつけるために用いられ、$|\zeta(1/2 + it)|^4$ のモトハシの公式が活用される。
• $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ である平均平方推定と、$\ll T^{1+\varepsilon}$ である8次モーメントの上限との同値性は、部分積分と $L^2$-ノルム推定によって確立される。
• 既知のモーメント境界 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{3/2 + \varepsilon}$ や、$\mathcal{Z}_2(s)$ の推定における指数の改善が8次モーメントの上限を改善することに繋がることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析接続 $\mathcal{Z}_k(s)$ は、$\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ の成長とどのように関係しているか？
• RQ2 $\mathcal{Z}_2(s)$ の平均平方と $|\zeta(1/2 + it)|$ の8次モーメントの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ は、スペクトル積分平均 $I(T,G)$ を通じて特徴づけられるか？
• RQ4 $\mathcal{Z}_2(s)$ の平均平方推定における指数の改善は、8次モーメントの上限にどのように影響するか？
• RQ5 モトハシのスペクトル公式は、$\mathcal{Z}_2(s)$ と8次モーメント問題をどのように結びつけるか？

主な発見

• $\mathcal{Z}_k(s)$ の修正メリン変換は、$|\zeta(1/2 + it)|$ の $2k$-次のモーメントが $T^{c+\varepsilon}$ のように成長するとき、かつそのときに限り、$\Re(s) > c$ に解析接続可能である。
• $k=2$ の場合、$\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ は条件なしに成り立つ。現在のところ、既知の推定から指数 $3/5 + \varepsilon$ が得られている。
• $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ である8次モーメントの上限は、$\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ である平均平方推定と同値である。
• $T^\varepsilon \leq G \leq T$ のとき、$\int_T^{2T} I^2(t,G) dt \ll T^{1+\varepsilon}$ であるが、ここで $I(T,G)$ は滑らかにした $L^4$-平均である。この境界は、指数 $\theta = 1$ の8次モーメントの上限と同値である。
• $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^{\varepsilon}$ の指数を $3/5$ 未満に改善すれば、既知の8次モーメントの上限 $\ll T^{3/2 + \varepsilon}$ よりも良い指数が得られる。
• 8次モーメントとスペクトル平均 $I(T,G)$ の同値性は、モトハシの明示的公式を介して確立され、ゼータ関数のモーメントとスペクトル理論を結びつける。