[論文レビュー] The modified simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear partial differential equations

Olga Yu. Efimova|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形偏微分方程式（PDE）の正確な解を導出するための修正された最も単純な方程式法を導入し、進行波解の範囲を越えてその応用を拡張する。解を線形補助方程式の解の形式で表現し、得られる代数的系を解くことで、立方源を有する一般化されたKorteweg-de Vries方程式および気泡を含む液体中の非線形波をモデル化する3階のKudryashov-Sinelshchikov方程式に対して、新たな正確な解が得られる。

ABSTRACT

The modification of simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear partial differential equations is presented. Using this method we obtain exact solutions of generalized Korteweg-de Vries equation with cubic source and exact solutions of third-order Kudryashov-Sinelshchikov equation describing nonlinear waves in liquids with gas bubbles.

研究の動機と目的

• 進行波クラスを超えた非線形PDEに適用可能な、最も単純な方程式法の一般化版を開発すること。
• Mapleのような記号計算ツールを用いて解法プロセスを完全に自動化すること。
• 流体力学および数理物理学に現れる2つの重要な非線形PDEの正確な解析的解を導出すること。
• 方程式のパラメータにかかる制約を特定することで、正確な解が存在するための条件を確立すること。
• 液体-ガス混合物中の圧力波を記述するKudryashov-Sinelshchikov方程式に対する新たな正確な解を提示すること。

提案手法

• 本手法は、非線形PDEの解が、既知の解をもつ線形補助方程式の解の有限級数として表現可能であると仮定する。
• 補助方程式は $ Z_{x}^{(l)} = b_1 Z_{x}^{(l-1)} + \cdots + b_{l-1} Z $ および $ Z_t = c_1 Z_{x}^{(l-1)} + \cdots + c_{l-1} Z $ として定義され、ここで $ Z $ は線形PDE系を満たす。
• 元のPDEの極・零点の次数解析に基づいて解を構成し、$ u = a_0 + a_1 \frac{Z_x}{Z} $ や $ u = a_0 + a_1 Z + \cdots + a_n Z^n $ などの形を用いる。
• アンザッツを元のPDEに代入することで、$ Z $ 及びその微分の各べき乗の係数を等置することにより代数的系が得られる。
• 代数的系を解くことで、パラメータ $ p_i $, $ \alpha $, $ \beta $, $ \sigma $ および係数 $ a_i $, $ b_j $, $ c_j $ にかかる制約が得られる。
• 最終的な解は補助線形PDE系の解を用いて表現され、異なるパrameter領域に対応する明示的形が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最も単純な方程式法は、非線形PDEの進行波でない正確な解を求めるために一般化可能か？
• RQ2 この手法を用いて正確な解が存在するための、一般化されたKorteweg-de Vries方程式のパrameterに必要な条件は何か？
• RQ3 Kudryashov-Sinelshchikov方程式が、修正された最も単純な方程式法を用いて正確な解をもつためのパrameter制約は何か？
• RQ4 Mapleのような記号計算環境を用いて、この手法を完全に自動化できるか？
• RQ5 Kudryashov-Sinelshchikov方程式に対して導出された正確な解は、新規であり物理的に意味を持つものか？

主な発見

• 立方源を有する一般化されたKorteweg-de Vries方程式に対して、制約 $ p_6 = p_1 + 2p_5 $ の下で正確な解が得られ、$ p_2^2 - 4p_3 $ の符号に応じて3つの異なる解のタイプが存在する。
• $ p_2^2 - 4p_3 > 0 $ の場合、解は実指数 $ \lambda_{1,2} = \frac{-p_2 \pm \sqrt{p_2^2 - 4p_3}}{2} $ を持つ指数関数的項を含む有理型双曲正割関数となる。
• $ p_2^2 - 4p_3 = 0 $ の場合、解は $ \bar{x} $ に関する線形項および指数関数的項を含む有理関数に簡略化され、$ \lambda = -p_2/2 $ となる。
• $ p_2^2 - 4p_3 < 0 $ の場合、解は $ \sin $ および $ \cos $ 関数を含み、変数 $ \tilde{x} $ において複素数に類似した振動的挙動を示す。
• Kudryashov-Sinelshchikov方程式に対しては、5つの異なるパrameter領域が正確な解をもたらし、$ \beta = -1, n = 2 $ および $ \sigma = -1, \beta = 2 $ の場合を含む。それぞれ $ b_1, b_2, c_1, c_2 $ に特定の制約が課される。
• $ \beta = -2 $ の場合、$ \alpha $ の値に応じて双曲型、多項式型、三角関数型の解が得られ、$ C_1, C_2 $ および時間依存変数 $ z_1, z_2 $ を含む明示的表現が導出される。