[論文レビュー] The modular height of an abelian variety and its finiteness property

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Oct 14, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アラケロフ幾何とネロンモデルを用いて、ℚの有限型の体上でのアーベル多様体のモジュラー高さを導入し、ホッジ bundle にFaltings 距離を用いた高さを定義する。大極形式の下で、モジュラー高さが有界なアーベル多様体の同型類の有限性を証明し、Faltingsの有限性結果を幾何的に一般な体に一般化する。

ABSTRACT

In this note, we propose the modular height of an abelian variety defined over a field of finite type over Q. Moreover, we prove its finiteness property.

研究の動機と目的

• 数体上のアーベル多様体のFaltingsの有限性結果を、ℚ over 有限型の体へと拡張すること。
• アラケロフ幾何を用いて、ネロンモデルのホッジ bundle にFaltings 距離を組み込んだモジュラー高さ不変量を定義すること。
• 大極形式の下で、モジュラー高さが有界なアーベル多様体の同型類の有限性を確立すること。
• アラケロフ的交点論を用いて、モレット＝バイユの幾何的有限性結果を算術的設定へ一般化すること。

提案手法

• 体 K の極形式を、C∞-ヘルミート線束がネフであるスキーム B over ℤ として定義し、B が一般に滑らかで、K が B の函数体であることを保証する。
• A の codimension 1 におけるネロンモデルを用いて、B 上の階数 1 の反射的層としてホッジ bundle λ(A/K;B) を構成する。
• 良い還元部のネロンモデルに由来する局所可積分なヘルミート計量であるFaltings 距離を、λ(A/K;B) に導入する。
• モジュラー高さ h(A) を、極形式類とFaltings 距離付きホッジ bundle の1次チーグン類の高次元交点のアラケロフ的次数として定義する。
• Zarhinのトリックを用いて、問題を主極形式のアーベル多様体に還元し、4乗構成によるモジュラー高さの線形性を保証する。
• 半アーベル的還元および有界な除数類に関する有限性結果を適用し、高さを制御し、同型類の有限性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体からℚ over 有限型の体へと、アーベル多様体のモジュラー高さを一般化することは可能か？ その際、有限性性質が保たれるか？
• RQ2 ネロンモデルのホッジ bundle にFaltings 距離を用いたアラケロフ的高さが、有界な高さに対して有限生成な同型類集合をもたらすか？
• RQ3 モジュラー高さは、基底変換および同種写像に関してどのように振る舞うか？ 特に、ねじれ構造と関連してどうか？
• RQ4 グローバルなネロンモデルが存在しない状況において、幾何的および算術的交点論を用いて、有界高さのアーベル多様体の有限性を確立できるか？
• RQ5 極形式が同型類の数を制御するための高さ関数に必要な条件は何か？

主な発見

• アラケロフ幾何とホッジ bundle にFaltings 距離を組み込んだ結果、ℚ over 有限型の体 K 上のアーベル多様体 A に対して、モジュラー高さ h(A) は適切に定義される。
• 任意の固定された実数 c に対して、h(A) ≤ c を満たす K 上のアーベル多様体 A の同型類の集合は、極形式が大である限り有限である。
• 高さ h(A) は、除数 E_A の次数を含む補正項を介してモジュラー高さ h_mod(A) と関係づけられる。この補正項は、悪い還元を補正する。
• 補正項は、有界高さ集合内のすべての A に対して一様に有界であり、したがって、すべての such A は B 上の固定除数 D 以外の場所で半アーベル的還元を示す。
• ある幾何的問題（注記 1.10.3）が解決されれば、極形式が厳密に細かくない場合でも、有限性結果は成り立つ。
• 証明は、m-捩れ点上のガロア表現の有限性および、捩れ点が有理点となる有限拡大における分岐の有界性に依存する。