[論文レビュー] The modular properties and the integral representations of the multiple elliptic gamma functions

Atsushi Narukawa|ArXiv.org|Jun 10, 2003

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、複数の正弦関数の積分表現および無限積表現を導出し、それらの同等性がモジュラー恒等式を導くことにより、複数の楕円的ガンマ関数のモジュラー性を確立する。主な結果は、 FelderとVarchenkoの楕円的ガンマ関数のモジュラー変換を、複数のベルヌーイ多項式および $q$-シフト階乗と関連付けることにより、高ランクの複数ガンマ関数へ一般化したものである。

ABSTRACT

We show the modular properties of the multiple 'elliptic' gamma functions, which are an extension of those of the theta function and the elliptic gamma function. The modular property of the theta function is known as Jacobi's transformation, and that of the elliptic gamma function was provided by Felder and Varchenko. In this paper we deal with the multiple sine functions, since the modular properties of the multiple elliptic gamma functions result from the equivalence between two ways to represent the multiple sine functions as infinite product. We also derive integral representations of the multiple sine functions and the multiple elliptic gamma functions. We introduce correspondences between the multiple elliptic gamma functions and the multiple sine functions.

研究の動機と目的

• theta関数および楕円的ガンマ関数のモジュラー性を、高ランクの複数楕円的ガンマ関数へ拡張すること。
• 複数正弦関数 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$ の積分表現および無限積表現を確立すること。
• $S_r$ の2つの異なる無限積表現が、$G_r$ のモジュラー変換をもたらすことを示すこと。
• contour 積分および一般化された多変数対数関数を用いて、$G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$ の積分表現を導出すること。
• $G_r$ を $S_{r+1}$ と関連付ける無限積公式を、ベルヌーイ多項式および contour 積分を用いて導出すること。

提案手法

• $q$-シフト階乗 $(x;\underline{q})_\infty^{(r)}$ を用いて定義される Nishizawa の複数楕円的ガンマ関数 $G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$ を用いる。
• 複数正弦関数 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$ の2つの無限積表現の同等性に依拠し、$G_r$ のモジュラー恒等式を導出する。
• 複素平面上での contour 積分を用い、微小な正の虚部シフト（$\mathbb{R}+i\epsilon$）を導入して積分表現を導出する。
• 一般化された $q$-ポリログラスおよび複数ベルヌーイ多項式 $B_{rr}(z|\underline{\omega})$ の指数関数を用いて関数を表現する。
• 重要な恒等式を導出：$r \geq 2$ に対して $\prod_{k=1}^r G_{r-2}(z/\omega_k | \text{ratios}) = \exp\left\{-\frac{2\pi i}{r!}B_{rr}(z|\underline{\omega})\right\}$。
• $G_r$ を $S_{r+1}$ 関数の無限積として表現し、ベルヌーイ多項式の差を含む補正項を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数楕円的ガンマ関数 $G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$ のモジュラー性は、theta関数および楕円的ガンマ関数のそれらをどのように一般化するか？
• RQ2 複数正弦関数 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$ の積分表現および無限積表現は何か？
• RQ3 $S_r$ の2つの異なる無限積表現の同等性は、$G_r$ のモジュラー恒等式をどのように導くか？
• RQ4 $G_r(z|\underline{\tau})$ は、明示的な補正項を含む $S_{r+1}$ 関数の無限積として表現可能か？
• RQ5 複数ベルヌーイ多項式 $B_{rr}(z|\underline{\omega})$ は、$G_r$ のモジュラー変換においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• $G_r$ のモジュラー性は、複数正弦関数 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$ の2つの無限積表現の同等性から導出される。
• $r \geq 2$ および $\mathrm{Im}(\omega_j/\omega_k) \neq 0$ の条件下で、恒等式 $\prod_{k=1}^r G_{r-2}(z/\omega_k | \text{ratios}) = \exp\left\{-\frac{2\pi i}{r!}B_{rr}(z|\underline{\omega})\right\}$ が成り立つ。
• $r=2$ の場合、この恒等式は Felder と Varchenko の楕円的ガンマ関数 $\Gamma(z,\tau,\sigma)$ のモジュラー変換を回復する。
• モジュラー恒等式における関数 $Q(z;\tau,\sigma)$ は、$-\frac{1}{3}B_{33}(z|\tau,\sigma,-1)$ に等しいことが示された。
• $G_r(z|\underline{\tau})$ の積分表現は、$\mathbb{R}+i\epsilon$ 上の contour 積分を用いて導出され、三角関数および指数関数的項を含む。
• $G_r$ を $S_{r+1}$ 関数の無限積として表現する方法が確立され、補正項として $\exp\left\{\frac{\pi i}{(r+1)!}(B_{r+1,r+1}(z+k+1|\underline{\tau}) - B_{r+1,r+1}(z-k|\underline{\tau}))\right\}$ を含む。