[論文レビュー] The modular variety of hyperelliptic curves of genus three

Eberhard Freitag, Riccardo Salvati Manni|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、P¹ 上の8点配置のGITコンパクト化、Siegelモジュラー3次元多様体における双曲的曲線のハイパーオーバル部分系のサタケコンパクト化、および M₀,₈ の3つのコンパクト化の間の有理写像を分析することにより、3次数のハイパーオーバル曲線のレベル2構造を持つモジュライ空間の新しい幾何的モデルを構築する。主な貢献は、GITモデルからシーゲルモデルへの有理写像の基本被覆をブ lowup することにより、M₀,₈ に同型な滑らかなモデルが得られることを証明し、この構成がテータ特徴とヒーゲナー除数を用いて2つのコンパクト化の組合せ的双対性を説明することにある。

ABSTRACT

The modular variety of non singular and complete hyperelliptic curves with level-two structure of genus 3 is a 5-dimensional quasi projective variety which admits several standard compactifications. The first one, X, comes from the realization of this variety as a sub-variety of the Siegel modular variety of level two and genus three .We will be to describe the equations of X in a suitable projective embedding and its Hilbert function. It will turn out that X is normal. A further model comes from geometric invariant theory using so-called semistable degenerated point configurations in (P^1)^8 . We denote this GIT-compactification by Y. The equations of this variety in a suitable projective embedding are known. This variety also can by identified with a Baily-Borel compactified ball-quotient. We will describe these results in some detail and obtain new proofs including some finer results for them. We have a birational map between Y and X . In this paper we use the fact that there are graded algebras (closely related to algebras of modular forms) A,B such that X=proj(A) and Y=proj(B). This homomorphism rests on the theory of Thomae (19th century), in which the thetanullwerte of hyperelliptic curves have been computed. Using the explicit equations for $A,B$ we can compute the base locus of the map from Y to X. Blowing up the base locus and the singularity of Y, we get a dominant, smooth model { ilde Y}. We will see that { ilde Y} is isomorphic to the compactification of families of marked projective lines (P^1,x_1,...,x_8), usually denoted by {\bar M_{0,8}}. There are several combinatorial similarities between the models X and Y. These similarities can be described best, if one uses the ball-model to describe Y.

研究の動機と目的

• 3次数シーゲルモジュラー3次元多様体のサタケコンパクト化におけるハイパーオーバル部分系の定義式およびヒルベルト関数を記述すること。
• P¹ 上の8点配置のGITコンパクト化から得られる有理写像の基本被覆のブローダウンとして、M₀,₈ のモジュライ空間の新しい幾何的実現を確立すること。
• 基本被覆のブローダウンがM₀,₈ に同型な滑らかなモデルを生じることを証明し、M₀,₈ の明示的な幾何的記述を提供すること。
• 特徴2の代数的構造におけるシンプレクティックおよび正規直交的構造の相互作用を用いて、GITモデルとボール商モデルの間の組合せ的双対性を説明すること。

提案手法

• トマエの公式およびムムフォードの手法を用いて、シーゲル側のモジュラー形式の環から、配置空間側の不変式の環への次数付き代数準同型を構成する。
• GITコンパクト化 Y からハイパーオーバル部分系 X への有理写像の基本被覆を明示的に計算し、それが「0に和が一致する奇数テータ特徴の3つ組に対応する56個の線型空間の和集合」であることを示す。
• 基本被覆のブローダウンにより有理写像を解消し、X への正則写像を持つ新たなモデル Y* を得る。
• 35個の例外的有理面（尖点の逆像）をさらにブローダウンすることで、滑らかなモデル Ŷ を得る。このモデルが M₀,₈ に同型であることを示す。
• テータ特徴とヒーゲナー除数の理論を用いて、ブローダウンの像がシーゲルモジュラー多様体内にどのように位置づけられるかを分析する。
• (P¹)⁸//SL(2) の不変式の次数付き代数がGorensteinであり、K3表面の技法を用いずに、合同部分群 Γ[1−i] の全モジュラー形式の環を記述できることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P¹ 上の8点配置のGITコンパクト化から、サタケコンパクト化におけるハイパーオーバル部分系への有理写像の基本被覆の構造は何か？
• RQ2 M₀,₈ のモジュライ空間は、GITモデルおよびハイパーオーバル部分系のブローダウンを用いてどのように幾何的に実現できるか？
• RQ3 ボール商モデルにおけるヒーゲナー除数と、シーゲルモジュラー多様体内におけるハイパーオーバル部分系の成分との関係は何か？
• RQ4 なぜGITモデルとボール商モデルは組合せ的に類似しており、この対称性はどのように説明されるか？
• RQ5 K3表面理論を用いずに、群 Γ[1−i] の全モジュラー形式の環を純代数的に記述できるか？

主な発見

• GITコンパクト化 Y からハイパーオーバル部分系 X への有理写像の基本被覆は、0に和が一致する奇数テータ特徴の3つ組に対応する56個の線型部分多様体の和集合である。
• この基本被覆のブローダウンにより、M₀,₈ に同型な滑らかなモデル Y* が得られる。
• GITモデルにおける各尖点の逆像は、Y* 内の互いに交わらない有理面であり、それらをさらにブローダウンすることで、M₀,₈ に同型な滑らかなモデル Ŷ が得られる。
• 基本被覆の各成分のブローダウンの像は、6つのテータノル値の消失によって定義される、非既約なハイパーオーバル部分系の既約成分である。
• 35個の尖点のブローダウンの像は、18個のテータノル値の消失によって定義される2次元成分に写り、θ[0]、θ[m]、および16個の奇数 nᵢ に対して m+nᵢ が奇数となる θ[nᵢ] が消失する。
• (P¹)⁸//SL(2) の不変式の次数付き代数はGorensteinであり、K3表面理論を用いずに、群 Γ[1−i] の全モジュラー形式の環を実現する。