[論文レビュー] The module $D f^s$ for locally quasi-homogeneous free divisors

Francisco Calderón-Moreno, Luis Narváez Macarro|ArXiv.org|Jun 25, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、局所的準同次的自由特異値 $f$ に対して、$\mathcal{D}f^s$ および $\mathcal{D}[s]f^s/\mathcal{D}[s]f^{s+1}$ の明示的な自由分解を提供する。特異値が局所的準同次的自由であるとき、その特異値は Koszul 自由であることが示され、対数的ベクトル場を用いた Koszul-Spencer 型分解の構成が可能となり、これらの $\mathcal{D}$-加群の完全な代数的記述が得られる。

ABSTRACT

We find explicit free resolutions for the $\scr D$-modules ${\scr D} f^s$ and ${\scr D}[s] f^s/{\scr D}[s] f^{s+1}$, where $f$ is a reduced equation of a locally quasi-homogeneous free divisor. These results are based on the fact that every locally quasi-homogeneous free divisor is Koszul free, which is also proved in this paper

研究の動機と目的

• 局所的準同次的自由特異値に関連する $\mathcal{D}$-加群 $\mathcal{D}f^s$ および $\mathcal{D}[s]f^s/\mathcal{D}[s]f^{s+1}$ の明示的自由分解を提供すること。
• すべての局所的準同次的自由特異値が Koszul 自由であることを確立し、Koszul複体に基づく分解技法の可能性を示すこと。
• 対数的ベクトル場を用いて、$\operatorname{Ann}_{\mathcal{D}}f^s$ の annihilator 理想の代数的構造を明確化すること。
• 対数的 de Rham複体 $\Omega_X^\bullet(\log D)$ と $\mathcal{D}$-加群の導来圏との間の自然同型を用いて関連づけること。

提案手法

• 特異値 $f=0$ に消失する対数的ベクトル場 $\delta_1, \dots, \delta_{n-1}$ の基底上で Koszul複体を構築し、自由分解を構成する。
• 拡張された集合 $f, \delta_1, \dots, \delta_{n-1}$ を用いて、Spencer複体構造を活用し、$\mathcal{D}f^s$ および $\mathcal{D}[s]f^s/\mathcal{D}[s]f^{s+1}$ の分解を構築する。
• 関連する $\mathcal{D}$-加群の層の層の記号と、 annihilator 理想の記号を分析することで、局所的準同次的自由特異値が Koszul 自由であることを証明する。
• 線型型の理想と Rees代数の理論を適用し、対数的微分作用素モジュールの Koszul 性質を検証する。
• 正則 $\mathcal{D}$-加群および perverse 契約層に関する既知の結果を活用し、$\Omega_X^\bullet(\log D)$ がこのような特異値に対して perverse であることを示す。
• 忠実平坦性および次数環の技法を用いて、特定の微分作用素が対数的ベクトル場によって生成される annihilator 理想の外にあることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的準同次的自由特異値に対して、$\mathcal{D}$-加群 $\mathcal{D}f^s$ および $\mathcal{D}[s]f^s/\mathcal{D}[s]f^{s+1}$ は自由分解可能か？
• RQ2 すべての局所的準同次的自由特異値は Koszul 自由であるか？ その性質は明示的分解構成を可能にするか？
• RQ3 このような特異値に対して、$\operatorname{Ann}_{\mathcal{D}}f^s$ の annihilator 理想は対数的ベクトル場によって生成可能か？
• RQ4 特異値 $D$ が局所的準同次的かつ自由であるとき、対数的 de Rham複体 $\Omega_X^\bullet(\log D)$ は perverse のままであるか？
• RQ5 [$LCT$] $\Rightarrow$ [$KF$] または [$LQH$] $\Rightarrow$ [$KF$] の含意に対して反例は存在するか？

主な発見

• annihilator 理想 $\operatorname{Ann}_{\mathcal{D}}f^s$ は、$f=0$ に消失する対数的ベクトル場 $\delta_1, \dots, \delta_{n-1}$ によって生成される。
• Koszul-Spencer複体を用いて、$\delta_1, \dots, \delta_{n-1}$ および $f, \delta_1, \dots, \delta_{n-1}$ に対して、それぞれ $\mathcal{D}f^s$ および $\mathcal{D}[s]f^s/\mathcal{D}[s]f^{s+1}$ の明示的自由分解が構成される。
• すべての局所的準同次的自由特異値が Koszul 自由であることが証明され、対数的微分作用素モジュールの強い代数的性質が確立される。
• 任意の局所的準同次的自由特異値に対して、対数的 de Rham複体 $\Omega_X^\bullet(\log D)$ は perverse である。これは、導来圏において $\mathbf{R} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(\mathcal{D}/\mathcal{I}, \mathcal{O}_X)$ に同型であるためである。
• 対数的比較定理を満たすが Koszul 自由でない自由特異値の例が存在するため、$[LCT] \not\Rightarrow [KF]$ であり、同様に $[LQH] \not\Rightarrow [KF]$ である。
• 対数的ベクトル場によって生成される左イデアルに属さないが、$\operatorname{Ann}_{\mathcal{D}}f^s$ に属する微分作用素 $P$ が存在する。これにより、対数的ベクトル場の生成する理想が線型型でないことが証明される。