[論文レビュー] The Moduli of Flat PU(p,p)-Structures with Large Toledo Invariants

Eyal Markman, Eugene Z. Xia|ArXiv.org|Sep 22, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、固定されたチャーン類の下で、トゥーリング不変量 τ が 2(p−1)(g−1) より大きい、または −2(p−1)(g−1) より小さいとき、コンパクトなリーマン面（ genus g > 1）上の平坦な PU(p,p)-構造のモジュライ空間の連結性を確立する。ヒッグスバンドル理論とモジュライ空間上の C*-作用を用いて、このような成分が二進ヒッジバンドルへと変形可能であることを示し、それらが連結であることを証明することで、元のモジュライ部分空間の連結性が示される。

ABSTRACT

For a compact Riemann surface $X$ of genus $g > 1$, $\Hom(π_1(X), PU(p,q))/PU(p,q)$ is the moduli space of flat $PU(p,q)$-connections on $X$. There are two invariants, the Chern class $c$ and the Toledo invariant $τ$ associated with each element in the moduli. The Toledo invariant is bounded in the range $-2min(p,q)(g-1) \le τ\le 2min(p,q)(g-1)$. This paper shows that the component, associated with a fixed $τ> 2(max(p,q)-1)(g-1)$ (resp. $τ< -2(max(p,q)-1)(g-1)$) and a fixed Chern class $c$, is connected (The restriction on $τ$ implies $p=q$).

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面（ genus g > 1）上の平坦な PU(p,p)-接続のモジュライ空間の位相的連結性を特定すること。
• 特に τ > 2(p−1)(g−1) または τ < −2(p−1)(g−1) のとき、大きなトゥーリング不変量におけるモジュライ空間の構造を分析すること。
• 固定されたチャーン類と大きなトゥーリング不変量をもつモジュライ空間の成分が、特徴的なヒッグスバンドルクラスへと変形可能であることを示し、連結性を確立すること。
• C*-同変変形議論の中心的役割を果たす二進ヒッジバンドルの部分空間の無接続性を証明すること。
• 表面群表現およびヒッグスバンドルの文脈におけるベティ、ドゥルーム、ドールベオールのモジュライ空間の広範な理解に貢献すること。

提案手法

• スミスソン対応を用いて、PU(p,q)-ベティモジュライ空間を半安定な U(p,q)-ヒッグスバンドルのモジュライ空間と同一視する。
• U(p,p)-ヒッグスバンドルのモジュライ空間上の C*-作用を適用し、固定点集合を分析し、特徴的な成分（二進ヒッジバンドル）を同定する。
• 固定されたベクトルバンドルの商層を用いて、ヒッグスバンドルをパラメータ化する Quot スキームの族を構成する。特に、半安定ヒッグスバンドルの開部分スキームに注目する。
• 局所環上の帰納法と変形技法を用いて、有限部分スキーム上のランク1自由商をパラメータ化する Quot スキームの無接続性を証明する。
• 滑らかな準同型とファイバーの無接続性を用いて、二進ヒッジバンドルの部分空間が、無接続スキームの稠密な開部分集合として現れることを示し、それによってその無接続性を証明する。
• C*-作用と変形領域の無接続性を用いて、大きなトゥーリング不変量をもつモジュライ空間の任意の点が、二進ヒッジバンドルへと変形可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたチャーン類と大きなトゥーリング不変量をもつ平坦な PU(p,p)-接続のモジュライ空間は連結か？
• RQ2 大きなトゥーリング不変量をもつモジュライ空間の成分は、標準的でよく理解されたヒッグスバンドルクラスへと変形可能か？
• RQ3 U(p,p)-ヒッグスバンドルのモジュライ空間における二進ヒッジバンドルの部分空間は無接続か？
• RQ4 U(p,p)-ヒッグスバンドルのモジュライ空間上の C*-作用は、モジュライ空間の位相的性質の解析にどのように寄与するか？
• RQ5 半安定ヒッグスバンドルは、大きなトゥーリング不変量におけるモジュライ空間の連結性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 固定されたチャーン類とトゥーリング不変量 τ > 2(p−1)(g−1) をもつ平坦な PU(p,p)-接続のモジュライ空間の成分は連結である。
• 同様に、τ < −2(p−1)(g−1) の場合の成分に対しても、同じ固定チャーン類の下で連結である。
• U(p,p)-ヒッグスバンドルのモジュライ空間における二進ヒッジバンドルの部分空間は無接続である。
• 大きなトゥーリング不変量をもつモジュライ空間の任意のヒッグスバンドルは、C*-作用を用いて二進ヒッジバンドルへと変形可能である。
• 局所層の点におけるランク1自由商をパラメータ化する Quot スキームは無接続であり、これは二進ヒッジバンドルの部分空間の無接続性を証明する上で重要なステップである。
• この結果は、固定不変量をもつ PU(p,q)-構造のモジュライ空間の連結性に関する予想を裏付けるものであり、後にブレッドロウ、ガルシア＝プラダ、ゴテンによって独立に確認された。