[論文レビュー] The Moduli Space of Abelian Varieties and the Singularities of the Theta Divisor

Ciro Ciliberto, Gerard van der Geer|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、 principally polarized abelian varieties のモジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ 内の $N_k$ の胞層の余次元を調査する。ここで $N_k$ は、theta divisor が $k$ 次元の特異点集合を持つようなvariety をパラメトライズする。代数幾何学的技法、特にガウス写像、二次曲面の線型系統に関するセグレの定理、およびマツサカ＝ランの基準を用いて、$N_1$ の余次元に対する鋭い下界を確立し、余次元3がちょうどハイパーオービック胞層 $\mathcal{H}_4$ とヤコビアン胞層 $J_5$ で発生することを証明する。さらに、これらが唯一の such な成分であると予想する。

ABSTRACT

In this paper we give a lower bound for the codimension of the Andreotti-Mayer loci in the moduli space of principally polarized complex abelian varieties. We also present a conjecture on this codimension.

研究の動機と目的

• principally polarized abelian varieties のモジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ 内の $N_k$ の胞層の既約成分の余次元を特定すること。
• $N_1$、つまり theta divisor が1次元の特異点集合を持つような胞層の余次元に対する鋭い下界を確立すること。
• 余次元3の $N_1$ の既約成分を特定し、それがちょうどハイパーオービック胞層 $\mathcal{H}_4$ とヤコビアン胞層 $J_5$ であると特徴づけること。
• ガウス写像、セグレの定理（二次曲面の線型系統）、マツサカ＝ランの基準といった幾何学的技法を用いて、theta divisor の特異点とそのモジュライ的意味を分析すること。

提案手法

• principally polarized abelian variety $(X,\Theta)$ 上の theta divisor $\Theta$ の特異点集合 $\operatorname{Sing}(\Theta)$ の次元と幾何を分析する。
• 特異点集合の次元が $k$ であるとき、$\dim \operatorname{Sing}(\Theta) = k$ ならば、ガウス写像 $\gamma: \operatorname{Sing}(\Theta) \to \mathbb{P}^{k+2}$ を用いて、その像 $\Sigma$ を分析する。この像は次元 $k+2$ の射影空間に含まれる。
• 二次曲面の線型系統におけるセグレの定理を適用して、$\Sigma$ の次数を上から抑える。非退化性の仮定のもとで、$\Sigma$ が直線を含むことが保証され、その仮定と矛盾する。
• マツサカ＝ランの基準を用いて、特異曲線 $R \subset \operatorname{Sing}(\Theta)$ の類が最小クラス $\alpha = \Theta^{g-1}/(g-1)!$ の倍数であれば、$X$ はヤコビアンまたはプリム多様体でなければならないことを示す。
• ガウス写像が $-1$-自己同型を通して因数分解されることを用い、写像 $R \to \Sigma$ の次数が少なくとも2以上であることを示し、次数がちょうど2である場合を調べることで、余次元を制約する。
• 二次曲面の線型系統 $|\Sigma|$ 内の特異二次曲面の判別式胞層 $\Delta$ を分析し、$\operatorname{Sing}(\Theta)$ の構造に関する幾何的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N_1$ の既約成分の最小余次元は何か？
• RQ2 余次元3の $N_1$ の既約成分は何か？ そして、幾何学的に特徴づけられるか？
• RQ3 $\Theta$ の1次元特異点集合上のガウス写像が次数2である条件は何か？ そして、これはモジュライ空間にどのような意味を持つか？
• RQ4 $\operatorname{Sing}(\Theta)$ が有理曲線または平面五次曲線への2:1写像であると仮定すると、そのような $X$ の分類は可能か？
• RQ5 セグレの定理（二次曲面の線型系統）を用いて、$N_1$ の成分の余次元が3より大きいことは排除できるか？

主な発見

• $N_1$ の任意の既約成分の余次元は少なくとも3であり、この下界は鋭い。余次元3はちょうどハイパーオービック胞層 $\mathcal{H}_4$ とヤコビアン胞層 $J_5$ で発生する。
• $g=4$ のとき、ハイパーオービック胞層 $\mathcal{H}_4$ は $N_{1,1}$ の既約成分であり、余次元3である。また、$\Theta$ の特異点集合は、$\mathbb{P}^3$ 内の3次数の有理正規曲線への2:1写像をなす曲線である。
• $g=5$ のとき、ヤコビアン胞層 $J_5$ は $N_{1,1}$ の既約成分であり、余次元3である。$\Theta$ の特異点集合は、ペイズ・カノニカル写像のもとで平面五次曲線への2:1写像をなす genus 11 の曲線である。
• 余次元3の成分 $N$ で、$[X,\Theta]$ が $N$ の一般点であれば、マツサカ＝ランの基準により $X$ はヤコビアンまたはプリム多様体でなければならない。
• ガウス写像 $R \to \Sigma$ の次数がちょうど2であることは、$R$ の類が最小クラス $\alpha = \Theta^{g-1}/(g-1)!$ の倍数であることと同値であり、これは余次元3の条件に不可欠である。
• 著者らは、$\mathcal{H}_4$ と $J_5$ 以外に、余次元3の $N_1$ の既約成分が存在しないと予想し、$g=4$ および $g=5$ でこの余次元下界が鋭いと述べている。