[論文レビュー] The moduli space of complex Lagrangian submanifolds

Nigel Hitchin|ArXiv.org|Jan 18, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素シンプレクティック多様体内の複素ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間を研究し、その自然な幾何的構造が特別なケーラー計量であることを示している。このような部分多様体を、2つのシンプレクティック形式に関してラグランジュ的である $V \times V$ 内の部分多様体としての双対的記述を用いることで、著者は幾何を再解釈し、リンストロムとローチェのレジェンドル変換構成の中にセコッティ、フェララ、ジラルデロのハイパーケーラー計量を埋め込む方法を示している。

ABSTRACT

Following an earlier paper on the differential-geometric structure of the moduli space of special Lagrangian submanifolds in a Calabi-Yau manifold, we follow an analogous approach for compact complex Lagrangian submanifolds of a (Kählerian) complex symplectic manifold. The natural geometric structure on the moduli space is a special Kähler metric, but we offer a different point of view on the local differential geometry of these, based on the structure of a submanifold of $V imes V$ (where $V$ is a symplectic vector space) which is Lagrangian with respect to two constant symplectic forms. As an application, we show using this point of view how the hyperkähler metric of Cecotti, Ferrara and Girardello associated to a special Kähler structure fits into the Legendre transform construction of Lindström and Ro\v cek.

研究の動機と目的

• 複素シンプレクティック多様体内のコンact複素ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間の微分幾何的構造を理解すること。
• 2つの定数シンプレクティック形式に関してラグランジュ的である $V \times V$ の部分多様体を用いた、このモジュライ空間の代替的な局所的記述を提供すること。
• 特別なケーラー幾何とハイパーケーラー計量の関係を、複素ラグランジュ部分多様体の文脈で明確にすること。
• セコッティ、フェララ、ジラルデロのハイパーケーラー計量をリンストロムとローチェのレジェンドル変換フレームワークに埋め込むこと。

提案手法

• シンプレクティックベクトル空間 $V$ に対して、$V \times V$ の部分多様体として複素ラグランジュ部分多様体を実現することにより、それらの局所幾何を分析する。
• 2つのシンプレクティック構造の相互作用を用いて、モジュライ空間上の特別なケーラー計量を導出する。
• リンストロムとローチェのレジェンドル変換構成を適用し、特別なケーラー構造とハイパーケーラー計量の関係を明らかにする。
• 特別なケーラー構造から得られるハイパーケーラー計量が、セコッティ、フェララ、ジラルデロによって構成されたものと一致することを示す。
• 複素幾何とシンプレクティックトポロジーの微分幾何的技法を用いて、モジュライ空間の局所的解析を行う。
• 複素ラグランジュ部分多様体の空間の内在的幾何と、周囲の複素シンプレクティック構造との関係に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素シンプレクティック多様体内の複素ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間は、どのように特別なケーラー計量を担っているか？
• RQ2 $V \times V$ 上の二重シンプレクティック構造は、複素ラグランジュ部分多様体の局所幾何を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 セコッティ、フェララ、ジラルデロのハイパーケーラー計量は、どのように特別なケーラー構造から生じるか？
• RQ4 リンストロムとローチェのレジェンドル変換構成は、この文脈におけるハイパーケーラー計量の記述をどのように統合するか？
• RQ5 $V \times V$ 上の2つのシンプレクティック形式を用いた双対的記述によって、モジュライ空間の幾何的構造を再解釈できるか？

主な発見

• 複素ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間は、もともと特別なケーラー計量を自然に持つ。これは、特別なラグランジュ部分多様体に関する以前の結果と整合する。
• モジュライ空間の局所幾何は、2つの定数シンプレクティック形式に関してラグランジュ的である $V \times V$ の部分多様体を用いて記述できる。
• モジュライ空間上の特別なケーラー構造は、リンストロムとローチェのレジェンドル変換構成によってハイパーケーラー計量へと導かれる。
• 特別なケーラー構造から得られるハイパーケーラー計量は、セコッティ、フェララ、ジラルデロによって構成されたものと一致する。
• 双対的記述 $V \times V$ は、この文脈における特別なケーラー構造とハイパーケーラー構造の幾何的統合を提供する。
• このフレームワークは、レジェンドル変換が複素ラグランジュ部分多様体から生じる自然な幾何的構造と整合することを確認する。