[論文レビュー] The moduli space of curves, double Hurwitz numbers, and Faber's intersection number conjecture

I. P. Goulden, D. M. Jackson+1 more|ArXiv.org|Nov 21, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、局所化および崩壊技法を用いて、曲線のモジュライ空間上のファーバー＝ハーウィッツ類と、種数0の二重ハーウィッツ数を結ぶ幾何的・組合せ的枠組みを確立する。ψ類の上位交差数の組合せ的記述を提供し、3点までのマークド点についてファーバーの交差数予想を証明するとともに、バーラーソロ予想に依存しない新たな手法を提示する。ハイペルエリプティック部分多様体および有理尾尾定理への応用も示す。

ABSTRACT

We define the dimension 2g-1 Faber-Hurwitz Chow/homology classes on the moduli space of curves, parametrizing curves expressible as branched covers of P^1 with given ramification over infinity and sufficiently many fixed ramification points elsewhere. Degeneration of the target and judicious localization expresses such classes in terms of localization trees weighted by ``top intersections'' of tautological classes and genus 0 double Hurwitz numbers. This identity of generating series can be inverted, yielding a ``combinatorialization'' of top intersections of psi-classes. As genus 0 double Hurwitz numbers with at most 3 parts over infinity are well understood, we obtain Faber's Intersection Number Conjecture for up to 3 parts, and an approach to the Conjecture in general (bypassing the Virasoro Conjecture). We also recover other geometric results in a unified manner, including Looijenga's theorem, the socle theorem for curves with rational tails, and the hyperelliptic locus in terms of kappa_{g-2}.

研究の動機と目的

• 曲線のモジュライ空間のタウトロジカルな環における上位交差数に対する直接的な幾何的・組合せ的アプローチの開発。
• 崩壊と局所化を用いて、ファーバー＝ハーウィッツ類と種数0の二重ハーウィッツ数の間の生成関数の恒等式の確立。
• 二重ハーウィッツ数を用いてψ類の交差の組合せ的記述を提供し、3点までのマークド点についてファーバー予想の証明を可能にする。
• ルイエンガの定理やハイペルエリプティック部分多様体類といった既知の幾何的結果を、主な枠組みの系として回復する。
• 閉形式に依存しない、全ファーバー予想への新たな道筋を、二重ハーウィッツ生成関数のグローバル構造を分析することで提示する。

提案手法

• 相対的安定写像モジュライ空間 Mg,α,β(P¹) を用い、ファーバー＝ハーウィッツ類を仮想基本クラスとして定義する。
• 標的の P¹ を崩壊して、種数0の成分からなる組合せ的木にモジュライ空間を分解する。
• 等置変換を用いて、ファーバー＝ハーウィッツ類を、ψ類の上位交差数と種数0の二重ハーウィッツ数を含む重み付き和として表現する。
• 生成関数と対称化作用素を用いて、局所化木の和を形式的べき級数の恒等式に変換する。
• 幾何から導かれる偏微分方程式および関数方程式を適用し、ファーバー数とψ類の交差数を解く。
• 3部分までである種数0の二重ハーウィッツ数の既知の構造を用い、生成関数を逆転させ、明示的な交差数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファーバー＝ハーウィッツ類は、種数0の二重ハーウィッツ数を含む重み付きの局所化木の和としてどのように表現できるか？
• RQ2 Mg,n のタウトロジカルな環におけるψ類の上位交差数の組合せ的構造は何か？
• RQ3 ファーバー＝ハーウィッツ類の生成関数と種数0の二重ハーウィッツ数の生成関数の関係は何か？
• RQ4 この枠組みを用いて、3点までのマークド点についてファーバーの交差数予想を証明できるか？
• RQ5 ファーバー記号とファーバー数は、局所化を介して上位交差数をどのようにエンコードするか？

主な発見

• 3点までのマークド点および任意の種数について、ファーバーの交差数予想が、3部分までである種数0の二重ハーウィッツ数の組合せ論を用いて証明された。
• R2g−1(Mrtg,n) のタウトロジカルな環は、単一の類 Gg,1 によって生成され、ψ類のすべての上位交差はこの生成子の倍数である。
• ψ類の上位交差数は、3部分までである種数0の二重ハーウィッツ数の有理数線形結合として明示的に記述される。
• Mg におけるハイペルエリプティック部分多様体の類が、κg−2 の有理数倍であることが示され、新しい枠組みを用いて既知の結果が再現された。
• ルイエンガの定理および有理尾尾曲線のソクル定理に対する新しい証明が得られ、これらは同じ組合せ的メカニズムの下で統一された。
• ファーバー数 Fg,α の生成関数は、局所化木の対称化された和として表現され、係数は種数0の二重ハーウィッツ数で与えられ、上位交差理論の完全な組合せ的記述が得られた。