[論文レビュー] The moduli space of genus 4 even spin curves is rational

Hiromichi Takagi, Francesco Zucconi|ArXiv.org|Apr 23, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、3次元モーリー理論と五次デル・ペッツォ3次元多様体 $B$ の幾何学を用いて、$\mathcal{S}^+_{4}$ と表記される genus 4 の偶数スピン曲線のモジュライ空間が有理的であることを証明する。$B$ 上の6次正規有理曲線のヒルベルト・スケールから $\mathcal{S}^+_{4}$ への双有理写像と、$G = \mathrm{PGL}_2$-不変な解消を構成することにより、著者らは $\mathcal{S}^+_{4}$ が $\mathbb{P}^9$ に双有理的であることを示し、有理的であることを確立する。

ABSTRACT

By the technique of 3-fold Mori theory, we prove that the moduli space whose general point parameterizes a couple of a smooth curve of genus 4 and a halfcanonical divisor with vanishing global section is rational.

研究の動機と目的

• genus 4 の偶数スピン曲線のモジュライ空間 $\mathcal{S}^+_{4}$ の双有理幾何を特定すること。
• Farkasによる高 genus に関する結果と $\mathcal{M}_4$ の既知の有理的性を踏まえ、$\mathcal{S}^+_{4}$ の有理的性の問題を解消すること。
• 五次デル・ペッツォ3次元多様体 $B$ の幾何的技法を用いて、$\mathcal{S}^+_{4}$ と $\mathbb{P}^9$ の間の双有理同値性を確立すること。
• $B$ 上の正則的および双有理的幾何の手法を拡張し、曲線とシータ特性の明示的構成を用いて有理的性を証明すること。

提案手法

• 五次デル・ペッツォ3次元多様体 $B$ を、$-K_B = 2H$ および $H^3 = 5$ で定義し、$|H|$ を用いて $\mathbb{P}^6$ に埋め込む。
• ヒルベルト・スケール $\mathcal{H}$（$B$ 上の6次正規有理曲線の）からモジュライ空間への有理写像 $\pi_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \mathcal{H} \dashrightarrow \mathcal{S}^+_{4}$ を構成する。
• $\mathcal{H}$ に $G = \mathrm{PGL}_2$-作用を導入し、不確定性の解消とスティーン因子分解を用いて、$p_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \mathcal{H} \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{S}}^+_{4}$ および $q_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \widetilde{\mathcal{S}}^+_{4} \dashrightarrow \mathcal{S}^+_{4}$ の写像を得る。
• $\widetilde{U}_0$ から $({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ への双有理的同型 $\Theta: \widetilde{U}_0 \to ({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ を定義し、各6次曲線に対して $B$ 上の6本の二重交差線の無順序集合を割り当てる。この $\Theta $ が双有理的であることを示す。
• $\mathcal{V}$ に関連する多様体上に有理的対合 $J$ を構成し、その全空間への拡張を証明し、商 $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ が有理的であることを示す。さらに、$\mathcal{W} = W_2 / j$ が有理的であることから、下降法により $\mathcal{R}$ が有理的であることを示す。
• 上記の構成と $\Theta$ の双有理的性を組み合わせることにより、$\mathcal{S}^+_{4}$ が $\mathcal{R}$ に双有理的であることが示され、したがって $\mathcal{S}^+_{4}$ が有理的であることが結論づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 4 の偶数スピン曲線のモジュライ空間 $\mathcal{S}^+_{4}$ は有理的か？
• RQ2 $\mathcal{S}^+_{4}$ の有理的性は、五次デル・ペッツォ3次元多様体 $B$ の幾何学を用いて確立可能か？
• RQ3 $B$ 上の6次有理曲線のヒルベルト・スケールは、二重交差線を介して $({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ に双有理的パラメトライゼーションを許容するか？
• RQ4 $B$ 上に $G = \mathrm{PGL}_2$-不変な構成を用いることで、$\mathcal{S}^+_{4}$ へのモジュライ写像の解消が可能か？
• RQ5 商 $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ は有理的か？ また、$\mathcal{S}^+_{4}$ に双有理的に支配されるか？

主な発見

• genus 4 の偶数スピン曲線のモジュライ空間 $\mathcal{S}^+_{4}$ は、$\mathbb{P}^9$ に双有理的であるため、有理的である。
• $B$ 上の6次正規有理曲線のヒルベルト・スケール $\mathcal{H}$ は、連結であり、$G = \mathrm{PGL}_2$-作用を有する。
• $\widetilde{U}_0$ から $({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ への写像 $\Theta: \widetilde{U}_0 \to ({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ は、各6次曲線に対してその二重交差線の無順序集合を割り当てるが、これは双有理的であり、重要なパラメトライゼーションを確立する。
• 有理的対合 $J$ は多様体 $\mathcal{V}$ 上に定義され、全空間に拡張可能であり、商 $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ は有理的である。
• $\mathcal{W} = W_2 / j$ は有理的であり、$\mathcal{R}$ が $\mathcal{W}$ 上の $\mathbb{P}^5$-バンドルであるため、$\mathcal{R}$ も有理的である。
• $\mathcal{S}^+_{4}$ が $\mathcal{R}$ に双有理的であることが示されたため、モジュライ空間 $\mathcal{S}^+_{4}$ は有理的である。