[論文レビュー] The moduli space of germs of generic families of analytic diffeomorphisms unfolding a parabolic fixed point

Colin Christopher, Christiane Rousseau|ArXiv.org|Sep 12, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、余次元1の放物固定点を解体する一般の1パラメータ族の解析的微分同相写像の芽の完全なモジュライ空間を確立する。ε-平面における領域の重なりを分析し、普遍被覆上での1回転の間、2つのEcalle-Voroninモジュール代表を比較することで、必要十分な整合性条件を導出する。この条件は、εにおけるモジュールの1/2-和分可能性に等しく、非和分方向が固定点における実数倍率と一致するものである。これにより、モジュールが解析的解体から生じることの完全な実現可能性が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we describe the moduli space of germs of generic families of analytic diffeomorphisms which unfold a parabolic fixed point of codimension 1. In [MRR] (and also [R]), it was shown that the Ecalle-Voronin modulus can be unfolded to give a complete modulus for such germs. The modulus is defined on a ramified sector in the canonical perturbation parameter $\eps$. As in the case of the Ecalle-Voronin modulus, the modulus is defined up to a linear scaling depending only on $\eps$. Here, we characterize the moduli space for such unfoldings by finding the compatibility conditions on the modulus which are necessary and sufficient for realization as the modulus of an unfolding. The compatibility condition is obtained by considering the region of sectorial overlap in $\eps$-space. This lies in the Glutsyuk sector where the two fixed points are hyperbolic and connected by the orbits of the diffeomorphism. In this region we have two representatives of the modulus which describe the same dynamics. We identify the necessary compatibility condition between these two representatives by comparing them both with their common Glutsyuk modulus. The compatibility condition implies the existence of a linear scaling for which the modulus is 1/2-summable in $\eps$, whose direction of non-summability coincides with the direction of real multipliers at the fixed points. Conversely, we show that the compatibility condition (which implies the summability property) is sufficient to realize the modulus as coming from an analytic unfolding, thus giving a complete description of the space of moduli.

研究の動機と目的

• 余次元1の放物固定点を解体する一般の1パラメータ族の解析的微分同相写像の芽のモジュライ空間を特徴づけること。
• 与えられたモジュールが実際に解析的解体から生じるための必要十分条件を同定すること。
• 特にεパラメータ空間におけるモノドロミーの問題により未解決であった、Ecalle-Voroninモジュールの実現可能性に関するオープンな問題を解決すること。
• Glutsyuk領域の力学から導かれる整合性条件が、パラメータεにおけるモジュールの1/2-和分可能性に等しいことを確立すること。

提案手法

• 両固定点が双曲的であり、軌道で接続されているGlutsyuk領域における力学を分析し、ε=0回りの解析接続によって得られる2つのモジュール代表を比較する。
• 2つのモジュール代表を、それらの共通するGlutsyukモジュールを介して比較し、εのリーマン面全体にわたる一貫性を満たすために満たすべき整合性条件を導出する。
• Glutsyuk領域において、固定点近傍の再スケーリングされた帰還写像が線形化可能であるという事実を用い、線形化写像を解析的不変量とする。
• 固定点に対応するホロノミー写像γ^0とγ^∞の間の関係として、整合性条件を導出し、L_C-共役を含む関数方程式を導出する。
• 整合性条件が、εにおけるモジュールの1/2-和分可能性に等しいことを示し、非和分方向が固定点における倍率の実数方向と一致することを示す。
• この和分条件が、モジュールが解析的解体から生じることの必要十分条件であることを証明し、これによりモジュライ空間の記述が完全に完成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ族の1パラメータ族における放物固定点の解体として実現可能なモジュールが満たすべき整合性条件は何か？
• RQ2 εパラメータ空間におけるモノドロミーは、異なるチャート間でのEcalle-Voroninモジュールの一貫性にどのように影響するか？
• RQ3 モジュールが実現可能であることを保証する正確な解析的条件（和分性の観点から）は何か？
• RQ4 このような解体のモジュライ空間は、単一の解析的条件によって完全に特徴づけられるか？
• RQ5 モジュール代表がεに関して解析的であるための条件は何か？ また、これは解体の構造とどのように関係するか？

主な発見

• Glutsyuk領域におけるモジュール代表の比較から導かれた整合性条件は、モジュールが解析的解体から生じることの必要十分条件である。
• この整合性条件は、パラメータεにおけるモジュールの1/2-和分可能性に等しく、非和分方向が2つの固定点における倍率の実数方向と一致する。
• モジュライ空間は、指定された非和分方向を持つεにおけるモジュールの1/2-和分可能性という条件によって完全に特徴づけられる。この条件はモノドロミー下での一貫性を保証する。
• この結果は、「モジュライの空間」という用語の正当性を裏付ける。なぜなら、モジュールが追加パラメータに関して解析的依存するためであり、実現可能性条件が和分性の性質によって完全に記述されるからである。
• ψ^0またはψ^∞の代表の一方が線形である特別な場合、実現可能な族はすべて定理6.14で記述されるものに限られ、この場合にその予想が正当化される。
• 整合性条件から生じる関数方程式の解は、与えられた制約の下で一意であり、特定のホロノミー写像の形、例えばb_sが最初の非ゼロ係数であるときのm_{(1-s)b_s, s-1}に対応する。