[論文レビュー] The Monge-Ampere constrained elastic theories of shallow shells

Marta Lewicka, L. Mahadevan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、浅いシェルの3次元非線形弾性エネルギーの薄板極限 $h \to 0$ における $γ$-極限を導出する。ここでシェルの深さは $h^\alpha$ に比例し、$0 < \alpha < 1$ であり、外力は $h^{\alpha+2}$ に比例する。2次の等長変形に由来する、$W^{2,2}$-正則な変位におけるモーニエ・アンペール型制約 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ を持つ、新しい薄板モデルを確立する。これは、$W^{2,2}$ 解に対する新しい近似および継続定理を用いて達成された。

ABSTRACT

Motivated by the degree of smoothness of constrained embeddings of surfaces in $\mathbb{R}^3$, and by the recent applications to the elasticity of shallow shells, we rigorously derive the $Γ$-limit of 3-dimensional nonlinear elastic energy of a shallow shell of thickness $h$, where the depth of the shell scales like $h^α$ and the applied forces scale like $h^{α+2}$, in the limit when $h o 0$. The main analytical ingredients are two independent results: a theorem on approximation of $W^{2,2}$ solutions of the Monge-Ampère equation by smooth solutions, and a theorem on the matching (in other words, continuation) of second order isometries to exact isometries.

研究の動機と目的

• 指定されたスケーリング $\text{深さ} \sim h^\alpha$, $\text{力} \sim h^{\alpha+2}$ の下で、$0 < \alpha < 1$ における薄板極限 $h \to 0$ における浅いシェルの3次元非線形弾性エネルギーの $γ$-極限を厳密に導出すること。
• 出面変位が $W^{2,2}$-正則である領域で、完全に非線形なモーニエ・アンペール型制約 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ に従う、極限弾性モデルを確立すること。
• 浅いシェル上での2次の無限小等長変形を、適切な正則性のもとで正確な等長変形に拡張する、一致（継続）定理を証明すること。
• γ-収束解析に不可欠な、正の行列式を持つ $W^{2,2}$ 解に対するモーニエ・アンペール方程式の解の滑らか解による近似定理を構築すること。
• 非ユークリッド板の非線形弾性理論の枠組みを、薄板極限における曲率依存制約を組み込む形で拡張すること。

提案手法

• 指定されたスケーリング領域下で、$h \to 0$ の極限における3次元弾性エネルギー関数への $γ$-収束技法を適用する。
• 変形勾配および計量テンソルの摂動展開を用いて、$\nabla^2 v_0 - \nabla^2 v$ の関数として、一次のひずみエネルギー密度を導出する。
• エネルギー関数 $W$ を単位行列の周りでテーラー展開し、ひずみ差の二次形式 $\mathcal{Q}_3$ を抽出する。
• 極限エネルギーを $\frac{1}{24} \int_\Omega \mathcal{Q}_2(\nabla^2 v_0 - \nabla^2 v) \, dx$ として得る。ここで制約 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ は等長極限から自然に生じる。
• 行列式が恒等的に正である $\det \nabla^2 v_0 \equiv c > 0$ を満たす $W^{2,2}$ 解に対する、新たな $W^{2,2}$-近似定理を確立する。
• 浅いシェル上での2次無限小等長変形を、$W^{2,2}$ 正則性のもとで正確な等長変形に拡張する、継続（一致）定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 浅いシェルの深さが $h^\alpha$、外力が $h^{\alpha+2}$ であるとき、$h \to 0$ における $0 < \alpha < 1$ のスケーリング下で、その極限弾性エネルギー関数は何か？
• RQ2 浅いシェルの非線形弾性の $\gamma$-極限において、モーニエ・アンペール方程式 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ はどのようにして制約として現れるか？
• RQ3 正の行列式を持つ $W^{2,2}$ 解に対するモーニエ・アンペール方程式の解は、弾性の $γ$-収束の文脈で滑らか解によって近似可能か？
• RQ4 浅いシェル上での2次無限小等長変形は、$W^{2,2}$ 正則性の仮定のもとで、正確な等長変形に拡張可能か？
• RQ5 曲率とスケーリングの役割は、薄く浅い非ユークリッド板の有効な弾性エネルギーを決定づけるか？

主な発見

• 極限弾性エネルギーは、指定されたスケーリング下での3次元エネルギーの $\gamma$-収束により得られる $\frac{1}{24} \int_\Omega \mathcal{Q}_2(\nabla^2 v_0 - \nabla^2 v) \, dx$ で与えられる。
• 制約 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ は、$W^{2,2}$ 環境下での2次の等長条件として自然に生じ、局所的な面積保存を反映している。
• 正の行列式を持つ $W^{2,2}$ 解に対するモーニエ・アンペール方程式の解が滑らか解によって近似可能であることを示す新定理を証明した。これは $\gamma$-収束の証明に不可欠である。
• 一致定理を確立し、浅いシェル上での2次無限小等長変形が $W^{2,2}$ 正則性のもとで正確な等長変形に拡張可能であることを示した。これにより、極限モデルの導出が可能になった。
• 解析により、$0 < \alpha < 1$ のとき、弾性エネルギーは $h^{2\alpha + 2}$ のオーダーに比例し、$\gamma$-極限の意味で $\alpha$ に依存しないことが判明した。
• 導出されたモデルは、内在的曲率を有する浅いシェルに一般化されたフォーププル＝フォン・カーマン理論を示し、極限において完全に非線形な曲率制約を組み込んでいる。