[論文レビュー] The Monge-Kantorovich problem for distributions and applications

Guy Bouchitté, Giuseppe Buttazzo+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平均がゼロである1階分布の空間 X₀(Ω) における分布へ、Monge-Kantorovich 最適輸送問題を拡張し、源と標的が測度ではなく分布である場合でも最適輸送密度の存在を証明する。主な貢献は、任意の f ∈ X₀(Ω) を f = fₜ + fₙ に分解することであり、fₜ ∈ X♯₀(Ω)（全質量がゼロである符号付き測度のKantorovichノルムにおける閉包）であり、fₙ は正規測度の発散である。Wasserstein 距離 W₁(f) は W₁(fₜ) + W₁(fₙ) に分解される。

ABSTRACT

We study the Kantorovich-Rubinstein transhipment problem when the difference between the source and the target is not anymore a balanced measure but belongs to a suitable subspace $X(\Omega)$ of first order distribution. A particular subclass $X_0^\sharp(\Omega)$ of such distributions will be considered which includes the infinite sums of dipoles $\sum_k(\delta_{p_k}-\delta_{n_k})$ studied in \cite{P1, P2}. In spite of this weakened regularity, it is shown that an optimal transport density still exists among nonnegative finite measures. Some geometric properties of the Banach spaces $X(\Omega)$ and $X_0^\sharp(\Omega)$ can be then deduced.

研究の動機と目的

• 源と標的の差が符号付き測度ではなく、全質量がゼロである1階分布の空間 X₀(Ω) に属する分布である場合に、古典的 Monge-Kantorovich 最適輸送問題を拡張すること。
• X₀(Ω) の一般化されたデータに対して、最適輸送密度（非負で有限な測度）の存在を確立すること。
• Kantorovichノルムの下で全質量がゼロである符号付き測度の閉包である部分空間 X♯₀(Ω) への、分布 f ∈ X₀(Ω) の距離を特徴付けること。
• X₀(Ω) を部分空間 X♯₀(Ω) と正規測度の発散の直交補空間に幾何学的・解析的に分解し、Banach空間 X₀(Ω) の構造的性質を明らかにすること。
• Ginzburg-Landau理論およびDirichletエネルギーの緩和の文脈において、Sobolev写像のヤコビアンの解析的応用と理論を関連させること。

提案手法

• 本稿は、X₀(Ω) を C¹(Ω) の双対として、リプシッツノルムの下で定義し、コンパクト台を持つゼロ平均の分布からなる空間と定義する。
• X♯₀(Ω) を、全質量がゼロである符号付き測度のKantorovichノルムにおける閉包として定義し、テスト関数のL∞および勾配のL∞に関する連続性条件によって特徴付ける。
• f ∈ X₀(Ω) に対して最適輸送密度 µ の存在は、f をベクトル測度 ν の分布的発散として表現し、ν を接線成分 νₜ と法線成分 νₙ に分解することで確立する。
• 主な技術的道具は、正則化された汎関数とFenchel双対性を用いた双対性の議論であり、これにより法線成分 νₙ の解析が可能となり、X♯₀(Ω) への距離が νₙ の L¹ 範囲に一致することが特定される。
• 本稿は、Ω × S^{N-1} × [0, ∞) 上の正測度の分解を用いて輸送計画を表現し、測度 σ の「法線部」σ₀ の全 Variation の下界として距離の第二の公式を導出する。
• 鍵となる補題（補題4.1）は、勾配が有界なテスト関数 ϕₙ の列を構成し、∫∇ϕₙ · η が η の法線成分の L¹ 範囲に収束することを示す。これは、距離および分解に関する主定理の証明に不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Monge-Kantorovich 最適輸送問題を、符号付き測度ではなく X₀(Ω) に属する分布 f であるデータに意味的に拡張できるか？
• RQ2 源と標的が X₀(Ω) に属する分布によって異なる場合でも、最適輸送密度（非負で有限な測度）が依然として存在するか？
• RQ3 X₀(Ω) の幾何学的・解析的構造、特に X♯₀(Ω) と正規測度の発散の空間への分解はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 分布 f ∈ X₀(Ω) と部分空間 X♯₀(Ω) 間の距離は、最適輸送の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ5 この理論は、W¹, N−1(Ω, S^{N−1}) に属する写像のヤコビアンを表現・解析するために応用可能か？

主な発見

• 任意の f ∈ X₀(Ω) に対して最適輸送密度 µ が存在する。これは、f がベクトル測度 ν の分布的発散として表現可能であり、|ν| が輸送密度であることを意味する。
• 空間 X₀(Ω) は一意に分解 f = fₜ + fₙ を持つ。ここで fₜ ∈ X♯₀(Ω) であり、fₙ = −div β（β ∈ N は正規測度）である。Kantorovichノルムは W₁(f) = W₁(fₜ) + W₁(fₙ) を満たす。
• f ∈ X₀(Ω) と部分空間 X♯₀(Ω) 間の距離は、W₁(f, X♯₀(Ω)) = ∫|νₙ| で与えられる。ここで νₙ は、−div ν = f を満たす任意のベクトル測度 ν の法線成分である。
• 距離の第二の特徴づけは、W₁(f, X♯₀(Ω)) = inf{∥σ₀∥ : σ ∈ M⁺(Ω × S^{N−1} × [0, ∞)), π♯σ = f} である。ここで σ₀ は測度 σ の「法線部」である。
• 本稿は、X♯₀(Ω) が X₀(Ω) の閉部分空間であり、X♯₀(Ω) への射影が線形かつ連続であることを証明する。
• 理論は、有界な W¹, N−1(Ω, S^{N−1}) 写像のヤコビアンに適用可能であり、そのヤコビアンが X♯₀(Ω) に属することを示し、ヤコビアンのKantorovichノルムが最小接続の質量に一致することを示す。これはGinzburg-Landau理論およびDirichletエネルギーの緩和において重要である。