[論文レビュー] The Monge-Kantorovitch Problem and Monge-Ampere Equation on Wiener Space

Denis Feyel, Ali Süleyman Üstünel|ArXiv.org|Jun 23, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、抽象ウィENER空間上での確率測度 $ \nu_1 $ と $ \nu_2 $ の間で、カ姆デン＝マーティンノルムに関する有限なワサーラインステル距離のもとで、$ T = I_W + \xi $（$ \xi: W \to H $）という循環的単調な輸送写像の存在と一意性を確立する。主な貢献は、$ \nu_2 \ll \mu $ の場合に $ T $ の確率的逆写像の構成と、伊藤・正規化を用いたモンジュ＝アンペール方程式の解法であり、ギルサノフおよびクラーク表現を用いて強い確率的解が得られる。

ABSTRACT

We give the solution of the Monge-Kantorovitch problem on the Wiener space for the singular Wasserstein metric which is defined with respect to the distance of the underlying Cameron-Martin space. We show, under the hypothesis that this distance is finite, the existence and the uniquness of the solutions, that they are supported by the graphs of the weak derivatives of H-convex Wiener functionals. then we prove the more general situation, where the measures are not even necessarily absolutely continuous w.r.to the Wiener measure. We give sufficient conditions for the hypothesis about the Wassestein distance is finite with the help of the Girsanov theorem. Finally we give the solutions of the Monge-Ampere equation using the classical Jacobi representation and/or the Ito parametrization of the Wiener space.

研究の動機と目的

• 抽象ウィーナー空間上での確率測度に対して、ワサーラインステル距離 $ d_H(\nu_1, \nu_2) $ が有限であるための条件を確立すること。
• $ \nu_1 $ から $ \nu_2 $ への循環的単調な輸送写像 $ T = I_W + \xi $（$ \xi: W \to H $）の存在と一意性を証明すること。
• $ \nu_2 \ll \mu $ の場合に、輸送写像 $ T $ が確率的に可逆であることを示すこと、すなわち $ \nu_1 $-a.s. で $ S \circ T = I_W $ かつ $ \nu_2 $-a.s. で $ T \circ S = I_W $ を満たす $ S $ が存在すること。
• イト計算および正規化技術を用いて、ウィーナー空間上でのモンジュ＝アンペール方程式の解を構成すること。
• 有限なワサーラインステル距離を有するウィーナー測度からの準不変変換が、輸送写像と測度を保存する回転に分解されることを示すこと。

提案手法

• 測度 $ \nu_1 $ と $ \nu_2 $ のコピュリング $ \beta $ を用いたワサーラインステル距離 $ d_H(\nu_1, \nu_2) = \sqrt{\inf_{\beta} \int_{W \times W} |x - y|_H^2 d\beta(x,y)} $ の使用。
• コスト $ \int |x - y|_H^2 d\theta(x,y) $ の最小化のためのモンジュ＝カンタロヴィッチ双対性の適用、$ \theta \in \Sigma(\nu_1, \nu_2) $ に対する結合測度。
• $ \nu_1 = \mu $ の場合に、1-凸関数 $ \phi \in \mathrm{I\!D}_{2,1} $ の勾配を用いて輸送写像 $ T = I_W + \xi $ を構成し、$ \xi = \nabla\phi $ を保証すること。
• ギルサノフの定理とイト＝クラーク表現を用いて、Radon-Nikodym導来 $ \Lambda = K / (L \circ T) $ を指数 martingale として表現すること。
• $ L_{n,t} $ の弱収束と一様可積分性を用いて、$ S \circ T = I_W $ が $ \nu_1 $-a.s. に成り立つように確率的逆写像 $ S $ を導出すること。
• イト正規化技術を用いてモンジュ＝アンペール方程式を強いイトの意味で解き、$ \dot{\alpha}_t $ をミャリヴィン微分の条件付き期待値によって定義されたものとして表現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象ウィーナー空間上での確率測度に対して、ワサーラインステル距離 $ d_H(\nu_1, \nu_2) $ が有限であるための条件は何か？
• RQ2 ワサーラインステル距離 $ d_H(\nu_1, \nu_2) < \infty $ のもとで、$ T = I_W + \xi $（$ \xi: W \to H $）という一意な循環的単調な輸送写像が存在するか？
• RQ3 輸送写像 $ T $ が確率的に可逆である条件は何か？すなわち、$ \nu_1 $-a.s. で $ S \circ T = I_W $ かつ $ \nu_2 $-a.s. で $ T \circ S = I_W $ を満たす $ S $ が存在するか？
• RQ4 確率的解析的手法を用いて、ウィーナー空間上でのモンジュ＝アンペール方程式を強いイトの意味で解くことができるか？
• RQ5 モンジュ＝アンペール方程式の解を、イト表現およびクラーク表現を用いて明示的に表現できるか？

主な発見

• 定理6.1の仮定のもとで、ワサーラインステル距離 $ d_H(\nu_1, \nu_2) $ は有限である。この仮定は、$ \nu_1 $ と $ \nu_2 $ がカムデン＝マーティン空間に関して十分に滑らかであることを要請する。
• ワサーラインステル距離 $ d_H(\nu_1, \nu_2) < \infty $ のもとで、一意な循環的単調な輸送写像 $ T = I_W + \xi $（$ \xi: W \to H $）が存在し、$ \nu_1 $ から $ \nu_2 $ への写像を実現する。
• $ \nu_2 \ll \mu $ の場合、輸送写像 $ T $ は確率的に可逆であり、$ \nu_1 $-a.s. で $ S \circ T = I_W $ かつ $ \nu_2 $-a.s. で $ T \circ S = I_W $ を満たす $ S $ が存在する。
• $ \nu_1 = \mu $ の場合、輸送写像 $ T $ は $ T = I_W + \nabla\phi $ と表され、$ \phi \in \mathrm{I\!D}_{2,1} $ は1-凸関数である。
• モンジュ＝アンペール方程式は強いイトの意味で解を有する：$ K = E[\Lambda^2] \cdot L \circ T \cdot \exp\left( -\int_0^1 \dot{\alpha}_s dT_s - \frac{1}{2} \int_0^1 |\dot{\alpha}_s|^2 ds \right) $、$ \mu $-a.s. で、$ \dot{\alpha}_t $ はミャリヴィン微分の条件付き期待値によって与えられる。
• $ (L_{n,t}) $ はすべての $ t \in [0,1] $ に対して一様可積分であり、$ L^1(\mu) $ 内での弱収束を保証する。これにより、$ L_t $ の極限が構成され、主要定理の証明が可能になる。