[論文レビュー] The Morava E-theories of finite general linear groups

S. Marsh|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般線型群 $GL_d(\mathbb{F}_q)$ の分類空間の有理および整数的モラバ E-理論を、一般化された特徴指標理論と $p$-進群の表現論を用いて計算する。$E^0$ 上の自由加群としての $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ の基底を確立し、最大トーラスからの不変多項式と転送から生じる torsion 級数の直和に分解されることを示す、重要な結果を含む。

ABSTRACT

By studying the representation theory of a certain infinite $p$-group and using the generalised characters of Hopkins, Kuhn and Ravenel we find useful ways of understanding the rational Morava $E$-theory of the classifying spaces of general linear groups over finite fields. Making use of the well understood theory of formal group laws we establish more subtle results integrally, building on relevant work of Tanabe. In particular, we study in detail the cases where the group has dimension less than or equal to the prime $p$ at which the $E$-theory is localised.

研究の動機と目的

• 有限体上の有限一般線型群 $GL_d(\mathbb{F}_q)$ の分類空間 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ のモラバ $E$-理論を計算すること。
• 一般化された特徴指標理論と形式的群法則を用いて、$E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q))$ の有理的および整数的構造を理解すること。
• $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ の基底を、不変多項式と転送写像から生じる torsion 級数の観点から特定すること。
• Hovey-Strickland双対性と Hopkins-Kuhn-Ravenel 特徴指標理論を用いて、Tanabe の $K(n)$-理論結果を $E$-理論設定へ拡張すること。

提案手法

• Hopkins, Kuhn, Ravenel の一般化された特徴指標理論を用い、有限群 $G$ に対する $E^0(BG)$ の計算を、$G$ 内の $p$-元の可換 $n$-重の研究に還元する。
• $\mathbb{Z}_p^n$ のプロ $p$-群の表現論を応用し、$BGL_d(\mathbb{F}_q)$ の $K$-理論を分析する。
• $E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q)) \to E^0(BT_d)$ の制限写像 $\beta$ を用い、その核を $tc_p^i$（$0 \leq i < N$）で生成される自由加群として特定する。
• $E^*$-理論における双対性を活用し、$E^0(BT_d)^{\Sigma_d}$ の基底 $B$ を $E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q))$ に自然な分解を介して持ち上げる。
• $E^0[[x]]/\langle p\rangle([p^v](x))$ の環 $D$ を構成し、循環 $p$-部分群のコホモロジーをモデル化し、転送と関連付ける。
• $K(n)^*$-理論の $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ と $BGL_d(\overline{\mathbb{F}}_l)$ の間の関係を、ガロア作用と余不変構造を用いて関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された特徴指標理論を用いて、$BGL_d(\mathbb{F}_q)$ の有理的モラバ $E$-理論をどのように計算できるか？
• RQ2 $|\mathbb{F}_q^\times|$ に $p$ が割り込むとき、$E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ の整数的構造は何か？
• RQ3 制限写像 $\beta: E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q)) \to E^0(BT_p)$ はどのように分解され、その核の構造は何か？
• RQ4 転送類 $t$ と $l$-エトルーカー類 $c_p$ は、$E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ の $E^0$-加群構造を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 Hovey-Strickland双対性を用いて、$K(n)$-理論から $E$-理論の $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ を回復できるか？

主な発見

• 有理的モラバ $E$-理論 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ は、一般化された特徴指標理論により計算され、$\mathbb{Z}_p^n$ の表現論に還元される。
• $d = p$ の場合、$E^0$-加群 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ は $\beta$ の核と $E^0(BT_p)^{\Sigma_p}$ の不変部の直和に分解される。
• $\beta$ の核は $E^0\{tc_p^i \mid 0 \leq i < N\}$ に同型であり、$t$ は転送類、$c_p$ は $l$-エトルーカー類である。
• $E^0(BT_p)^{\Sigma_p}$ の基底 $\tilde{B}$ は自然な方法で $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ に持ち上げられ、完全な基底の一部を構成する。
• $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ の完全な基底は $\tilde{B} \cup \{tc_p^i \mid 0 \leq i < N\}$ で与えられ、自由性と明示的な構造が証明される。
• $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ のコホモロジーは $E^0$ 上自由であり、偶数次元に値をとる。これは $E^*$-理論における既知の双対性結果と整合的である。