[論文レビュー] The Morita Theory of Fusion 2-Categories

Thibault D. Décoppet|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、分離代数における分離代数上のモジュールの相対的テンソル積の存在を示し、分離代数のモーリタ3カテゴリを構成し、分離モジュール2カテゴリの3カテゴリと同値であることを示すことによって、融合2カテゴリにおけるモーリタ理論を確立する。主な結果は、双対テンソル2カテゴリと分離モジュール2カテゴリを用いた、融合2カテゴリ間のモーリタ同値の特徴付けであり、古典的モーリタ理論を2カテゴリ的設定に一般化する。

ABSTRACT

We develop the Morita theory of fusion 2-categories. In order to do so, we begin by proving that the relative tensor product of modules over a separable algebra in a fusion 2-category exists. We use this result to construct the Morita 3-category of separable algebras in a fusion 2-category. Then, we go on to explain how module 2-categories form a 3-category. After that, we define separable module 2-categories over a fusion 2-category, and prove that the Morita 3-category of separable algebras is equivalent to the 3-category of separable module 2-categories. As a consequence, we show that the dual tensor 2-category with respect to a separable module 2-category, that is the associated 2-category of module 2-endofunctors, is a multifusion 2-category. Finally, we give three equivalent characterizations of Morita equivalence between fusion 2-categories.

研究の動機と目的

• 融合1カテゴリにおける古典的モーリタ同値を一般化し、融合2カテゴリにおける包括的なモーリタ理論を構築すること。
• 融合2カテゴリにおける分離代数上のモジュールの相対的テンソル積の存在を証明すること。これは基礎的な技術的結果である。
• 分離代数のモーリタ3カテゴリを構成し、分離モジュール2カテゴリの3カテゴリと同値であることを示すこと。
• 分離モジュール2カテゴリに関して、その双対テンソル2カテゴリが多重融合2カテゴリであることを示すこと。
• 融合2カテゴリ間のモーリタ同値の3通りの同値な特徴付けを提供し、1カテゴリの場合の既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 図式的記法と2次元コンパクトな半単純性を用いて、融合2カテゴリにおける分離代数上のモジュールの相対的テンソル積の存在を証明する。
• 分離モジュール2カテゴリを定義し、モーリタ3カテゴリ構成におけるその役割を確立する。
• 融合2カテゴリ上のモジュール2カテゴリの3カテゴリを構成する。ここには2関手と2随伴が含まれる。
• 2凝縮モナド理論と双対可能性を用いて、モジュール2カテゴリおよびその自己準同型2カテゴリを分析する。
• それらの間の3関手を介して、分離代数のモーリタ3カテゴリと分離モジュール2カテゴリの3カテゴリとの同値性を確立する。
• この同値性を応用し、分離モジュール2カテゴリに関して融合2カテゴリの双対テンソル2カテゴリが多重融合2カテゴリであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 融合1カテゴリにおけるモーリタ理論は、どのように融合2カテゴリの設定にカテゴリ化できるか？
• RQ2 融合2カテゴリにおける分離代数上のモジュールの相対的テンソル積が存在するための条件は何か？
• RQ3 分離モジュール2カテゴリは、融合2カテゴリにおける分離代数のモーリタ3カテゴリとどのように関係しているか？
• RQ4 分離モジュール2カテゴリに関して、その双対テンソル2カテゴリの構造は何か？また、モーリタ同値とどのように関係するか？
• RQ5 融合2カテゴリ間のモーリタ同値の同値な特徴付けは何か？また、1カテゴリの場合の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• 任意の融合2カテゴリにおいて、分離代数上のモジュールの相対的テンソル積が存在し、これによりモーリタ3カテゴリの構成が可能になる。
• 分離代数のモーリタ3カテゴリは、融合2カテゴリ上の分離モジュール2カテゴリの3カテゴリと同値である。
• 分離モジュール2カテゴリに関して、融合2カテゴリの双対テンソル2カテゴリは多重融合2カテゴリである。
• 分離代数B上の双モジュールの2カテゴリと、その双対代数上のモジュールの2カテゴリとの間にはモノイダル同値が存在し、これは重要な双対性を確立する。
• 忠実な分離モジュール2カテゴリに関して、融合2カテゴリCからその双対の双対への標準的なモノイダル2関手は同値である。これにより、モーリタ構成の自己双対性が確認される。
• 理論は既知の結果を回復・一般化する。例えば、G-係数の融合1カテゴリは2Rep(G)における分離代数であり、そのモーリタ同値は、Mod(B1)とMod(B2)の場合に、braided fusion 1カテゴリのWitt同値に対応する。