[論文レビュー] The Morse and Maslov Indices for Schrödinger Operators

Yuri Latushkin, Alim Sukhtayev+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、周期的および準周期的境界条件を満たすシュレーディンガー作用素に対して、Morse–Smale指数定理の多次元版を確立する。これは、シンプレクティックヒルベルト空間における抽象的境界値を用いて、Morse指数（負の固有値の個数）とMaslov指数（共役点の数え上げ）を結びつけるものである。抽象的境界値の空間に基づく関数解析的枠組みを用いることで、弱解やトレース作用素に関連する技術的困難を回避し、不安定固有値とラグランジュ・グラスマン多様体内の共役点との直接的な対応関係を導出する。

ABSTRACT

We study the spectrum of Schrödinger operators with matrix valued potentials utilizing tools from infinite dimensional symplectic geometry. Using the spaces of abstract boundary values, we derive relations between the Morse and Maslov indices for a family of operators on a Hilbert space obtained by perturbing a given self-adjoint operator by a smooth family of bounded self-adjoint operators. The abstract results are applied to the Schrödinger operators with quasi-periodic, Dirichlet and Neumann boundary conditions. In particular, we derive an analogue of the Morse-Smale Index Theorem for the multidimensional Schrödinger operators with periodic potentials. For quasi convex domains in $\mathbb{R}^n$ we recast the results connecting the Morse and Maslov indices using the Dirichlet and Neumann traces on the boundary of the domain.

研究の動機と目的

• 周期的および準周期的境界条件を満たす多次元シュレーディンガー作用素への古典的Morse–Smale指数定理の拡張を図ること。
• 無限次元シンプレクティック空間におけるMorse指数（負の固有値の個数）とMaslov指数（共役点の数え上げ）の厳密な関係を確立すること。
• 弱解やトレース作用素に関連する技術的困難を回避する関数解析的アプローチを、抽象的境界値を用いて開発すること。
• 抽象的枠組みを、ディリクレおよびノイマン境界条件を満たす擬凸領域上のシュレーディンガー作用素に適用すること。
• シンプレクティック不変量を用いてシュレーディンガー作用素の離散スペクトルを位相的に特徴付けること。

提案手法

• 著者たちは、作用素 A の定義域とその随伴作用素 A* の定義域の商空間 dom(A*)/dom(A) として定義される抽象的境界値の空間を用い、境界値問題を解析するためのシンプレクティックヒルベルト空間構造を構築する。
• 自己共役拡大 A_D とその滑らかな有界自己共共役作用素の族 V_t による摂動に関連する、抽象的境界値空間内でのラグランジュ部分空間の族を定義する。
• 共役点（交差点）は、t の値でラグランジュ部分空間の族が γ(D) のトレインと交差する点として特定され、これは固有値問題の非自明解に対応する。
• 抽象的シンプレクティック幾何学の理論 [BF] を用いることで、A_D + V_t のMorse指数が、重複度を考慮したそのような交差点の数（Maslov指数）に等しいことが示される。
• この枠組みにより、ラグランジュ部分空間の族の微分可能性を個別に検証する必要がなくなり、[BF] の抽象的理論によって保証される。
• 結果として、R^n 内の擬凸領域上でのシュレーディンガー作用素に、ディリクレおよびノイマンのトレースを用いて抽象的境界値を物理的境界条件に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的または準周期的境界条件を満たす多次元シュレーディンガー作用素のMorse指数は、どのようにシンプレクティック不変量で表現できるか？
• RQ2 ラグランジュ部分空間の族内の共役点を数えるMaslov指数を用いて、シュレーディンガー作用素の負の固有値の個数を計算できるか？
• RQ3 抽象的境界値は、複雑な境界条件をもつ微分作用素のMaslov指数解析を簡素化する役割を果たすか？
• RQ4 抽象的境界値枠組みは、境界値問題における弱解やトレース作用素に関連する技術的障害をどのように回避するか？
• RQ5 ディリクレ境界条件でない、例えばノイマン条件や混合境界条件をもつ領域上での作用素に対し、Morse–Smale指数定理はどの程度一般化可能か？

主な発見

• 摂動作用素 A_D + V_t のMorse指数は、抽象的境界値空間内のラグランジュ部分空間の族に対応するMaslov指数に等しい。
• 不安定固有値の個数（Morse指数）は、正確にラグランジュ部分空間の族が γ(D) のトレインと交差する点（共役点）の個数に等しく、重複度を考慮して数え上げられる。
• 抽象的境界値枠組みにより、ラグランジュ部分空間の族の微分可能性が自動的に保証され、先行研究のように個別に検証する必要がなくなる。
• 擬凸領域では、結果がディリクレおよびノイマンのトレースを用いて再定式化され、Maslov指数が非自明な境界データを持つ固有値問題の解の個数を数え上げることを示している。
• 本手法は、行列値ポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素にも適用可能であり、シンプレクティック不変量を用いて離散スペクトルを位相的に記述する。
• 本枠組みにより、Morse–Smale指数定理が、従来この関係が欠落していた多次元周期的および準周期的設定へと成功裏に一般化された。