[論文レビュー] The Morse index of Chaperon's generating families

Marco Mazzucchelli|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン微分同相写像のチャペロンの生成関数族のモーツィー指数と、関連する線形化ハミルトニアンフローのマスロフ指数との間に深い関係を確立する。この文脈においてボットの反復理論を展開することで、古典的なトネリラグランジュアン力学におけるモーツィー指数がマスロフ指数と一致することを証明し、生成関数族およびその安定化性を用いた、周期的軌道の指数の統一的で変分的かつシンプレクティックな解釈を提供する。

ABSTRACT

This is an expository paper devoted to the Morse index of Chaperon's generating families of Hamiltonian diffeomorphisms. After reviewing the construction of such generating families, we present Bott's iteration theory in this setting: we study how the Morse index of a critical point corresponding to an iterated periodic orbit depends on the order of iteration of the orbit. We also investigate the precise dependence of the Morse index from the choice of the generating family associated to a given Hamiltonian diffeomorphism, which will allow to see the Morse index as a Maslov index for the linearized Hamiltonian flow in the symplectic group. We will conclude the survey with a proof that the classical Morse index from Tonelli Lagrangian dynamics coincides with the Maslov index.

研究の動機と目的

• チャペロンの生成関数族のモーツィー指数と、線形化ハミルトニアンフローのマスロフ指数との関係を明確化すること。
• 生成関数族に対してボットの反復理論を発展させ、周期的軌道の反復に伴うモーツィー指数の変化を分析すること。
• 生成関数族の選択に依存しないモーツィー指数が、安定化に関しては不変であることを示し、それがシンプレクティック不変量として同定されることを示すこと。
• 古典的モーツィー指数がトネリラグランジュアン力学においてマスロフ指数と一致することを証明し、シンプレクティックトポロジーにおける2つの主要な概念を統一すること。

提案手法

• 時間スライスにわたる生成関数の和として、ハミルトニアン微分同相写像のチャペロンの生成関数族を構成し、小さな時間間隔への分解を用いる。
• 分割数とボット指数の理論を適用して、反復された周期的軌道のモーツィー指数を分析する。
• 二次形式の安定化と慣性指数を用いて、シンプレクティック幾何学を通じてモーツィー指数とマスロフ指数を関連付ける。
• 複素シンプレクティック線形代数（一般化固有空間と$ω$-直交性を含む）を用いて、線形化フローを分析する。
• 特にヘッシアンの核に関連して、慣性指数の制限および商の下での挙動を分析する。
• 生成関数族の構成を通じて、トネリラグランジュアン系における古典的モーツィー指数とマスロフ指数の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャペロンの生成関数族の文脈において、反復された周期的軌道に対応する臨界点のモーツィー指数は、反復順序にどのように依存するか？
• RQ2 与えられたハミルトニアン微分同相写像に対して、生成関数族の選択に依存しないモーツィー指数の程度はどの程度か？
• RQ3 線形化ハミルトニアンフローのシンプレクティック群におけるモーツィー指数として、モーツィー指数をマスロフ指数として同定できるか？
• RQ4 トネリラグランジュアン力学における古典的モーツィー指数は、シンプレクティックな文脈におけるマスロフ指数と一致するか？
• RQ5 分割数と慣性指数は、生成関数族の反復理論においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 反復された周期的軌道に対応する臨界点のモーツィー指数は、分割数を含む反復不等式を満たし、ボットの古典的結果が生成関数族へ一般化される。
• 生成関数族の安定化に関してモーツィー指数は不変であり、これは線形化フローのシンプレクティック構造のみに依存することを意味する。
• 生成関数族のモーツィー指数は、関連する線形化ハミルトニアンフローのシンプレクティック群におけるマスロフ指数と一致する。
• トネリラグランジュアン力学における古典的モーツィー指数がマスロフ指数と等しいことが証明され、シンプレクティックおよび変分的力学における根本的な等価性が確立される。
• 条件$\lambda\overline{\theta} \neq 1$の下で、線形化モノドロミー行列の一般化固有空間は$ω$-直交する。これはヘッシアンのスペクトル解析の基盤をなす。
• 固有値1に対応する実一般化固有空間$\mathds{E}_1$はシンプレクティック部分空間であり、ヘッシアンの制限の非退化性を保証する。