[論文レビュー] The Morse-Novikov theory of circle-valued functions and noncommutative localization

Michael Färber, Andrew Ranicki|ArXiv.org|Dec 21, 1998

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 2被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、非可換局域化環 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 上の有理的チェイン複体を構成し、円周値モース関数に対するノヴィコフ複体を一般化する。ノヴィコフ完成における特異性を非可換局域化によって解消することで、有理数係数のチェイン複体が得られ、臨界点を数え上げ、ホモトピー類内の臨界点の最小数に対する新たな位相的下界を導く。これはアーベルでない基本群へのノヴィコフ不等式の拡張である。

ABSTRACT

We use noncommutative localization to construct a chain complex which counts the critical points of a circle-valued Morse function on a manifold, generalizing the Novikov complex. As a consequence we obtain new topological lower bounds on the minimum number of critical points of a circle-valued Morse function within a homotopy class, generalizing the Novikov inequalities.

研究の動機と目的

• 非可換局域化を用いて、アーベルでない基本群へのノヴィコフ複体の構成を拡張すること。
• 局所化環 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 上でのノヴィコフ複体の有理的リフトを提供すること。
• ホモトピー類内の円周値モース関数の臨界点の最小数に対する新たな位相的下界を確立すること。
• 代数的不変量を局所化環に用いることで、非可換基本群へのノヴィコフ不等式を一般化すること。

提案手法

• 正則値 $x \in S^1$ の逆像 $f^{-1}(x)$ 沿いに多様体 $M$ を切り、コバーディズム $(M_N; N, zN)$ を得る。
• 相対セルチェイン複体 $C(\widetilde{M}_N, \widetilde{N})$ を、ランクが $c_i(f)$ に等しい基底付き有限生成自由 $\mathbb{Z}[\pi]$-モジュール複体として用いる。
• 普遍被覆チェイン複体 $C(\widetilde{M})$ を、包含写像 $N \to M_N$ および $zN \to M_N$ によって誘導される写像 $g$ と $h$ を用いた写像コーン $\mathcal{C}(g - zh)$ として定義する。
• 環 $\mathbb{Z}[\pi_1(M)] = \mathbb{Z}[\pi]_\alpha[z, z^{-1}]$ を、$\mathbb{Z}[\pi]$ 上の行列 $e$ を用いた形 $1 - ze$ の行列からなる集合 $\Sigma$ で非可換局域化し、$\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ を得る。
• 局域化の普遍性を用いて、チェイン複体を $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$-モジュールに持ち上げ、微分が有理数になるように保証する。
• ホモトピー論的構成（補題 2.3）を適用し、有理数係数の微分をもつ $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 上のチェイン複体 $\widehat{C}(M,f)$ を得る。この複体のホモロジーはノヴィコフ複体と同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の基本群に対して、円周値モース関数のノヴィコフ複体を非可換局域化環上での有理的チェイン複体に持ち上げることは可能か？
• RQ2 与えられたホモトピー類内での円周値モース関数の臨界点の最小数は何か？ そして、代数的にどのように制限できるか？
• RQ3 基本群が非可換で、モノドロミー自己同型が非自明な場合、ノヴィコフ数はどのように一般化されるか？
• RQ4 非可換局域化を用いて、ノヴィコフ完成の特異性を回避する有理的ノヴィコフ複体の構成は可能か？
• RQ5 局所化チェイン複体 $\widehat{C}(M,f)$ と無限次元循環被覆 $\overline{M}$ のホモトピー型の関係は何か？

主な発見

• 著者らは、非可換局域化環 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 上の基底付き有限生成自由チェイン複体 $\widehat{C}(M,f)$ を構成し、ノヴィコフ複体を一般化した。
• 複体 $\widehat{C}(M,f)$ は有理数係数の微分をもち、局所化写像の像に属する成分を持つ。
• $\widehat{C}(M,f)$ のホモロジーはノヴィコフホモロジーと同型であり、元の関数の位相的情報を保持する。
• 指数 $i$ の臨界点の数 $c_i(f)$ は、局所化環上の自由分解の生成元の最小数 $\mu_i(M; \Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)])$ によって下から抑えられる。
• ノヴィコフ不等式が一般化される：$c_i(f) \geq b_i(\xi) + q_i(\xi) + q_{i-1}(\xi)$ で、ここで $\xi = f^*(1) \in H^1(M)$ であり、これは任意の $\pi_1(M)$ に対して成り立つ。
• この構成は、$\pi_1(M)$ がアーベルでなくても、モノドロミー $\alpha$ が自明でなくても、任意の多様体 $M$ と円周値モース関数に対して有効である。