[論文レビュー] The motivic Adams-Novikov spectral sequence at odd primes over $\mathbb{C}$ and $\mathbb{R}$

Sven-Torben Stahn|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素数および実数上で、古典的アダムス＝ノヴィコフスペクトル系列（ANSS）が奇素数におけるモチーフ的ANSSを完全に決定することを確立する。これは、微分と$\tau$-主 torsionを含め、すべての構造を含む。モチーフ的微分は古典的微分を模倣し、与えられた範囲では、古典的微分によって強制されない限り、$\tau$-torsionは存在しない。具体的な例として、$l=3$の場合に、特定の双次数で$\tau$-torsionが$ l-1 $次のものとして現れる。結果は、$\theta$-torsionを用いて実数の場合に拡張される。

ABSTRACT

We study the motivic Adams-Novikov spectral sequence at an odd prime $l$ over the base fields $\mathbb{C}$ and $\mathbb{R}$. This spectral sequence converges to the stable motivic homotopy groups of the $l$-completed motivic sphere spectrum. We show that the spectral sequence is determined by the topological Adams-Novikov sequence, similar to the situation at the prime two over the base field $\mathbb{C}$.

研究の動機と目的

• 複素数および実数上で奇素数におけるモチーフ的アダムス＝ノヴィコフスペクトル系列（MANSS）の構造を理解すること。
• 古典的ANSSの計算が、モチーフ的バージョンおよびその微分を完全に決定できるかどうかを特定すること。
• モチーフ的スペクトル系列における$\tau$-主 torsionの存在と制約を分析すること。
• 実数の場合に$\theta$-torsionを用いて結果を拡張し、複素数の場合と比較すること。
• 微分および torsion 群の明示的例（例えば$\tau$-torsionが$ l-1 $次のもの）を提供すること。

提案手法

• $\rC$および$\rR$上のモチーフ的安定ホモトピー圏を用い、$S^{p,q}$による重み付けとセルラースペクトルを用いる。
• ベティ実現$R: \rSH_{\rC} \to \rSH_{\text{top}}$および実実現$R': \rSH_{\rR} \to \rSH_{C_2}$を適用し、モチーフ的および古典的ホモトピー群を関連付ける。
• $R$および$R'$がホモトピー群およびスペクトル系列に写像を誘導することを活用し、モチーフ的および古典的ANSSの比較を可能にする。
• カルタン＝アイレンバーグおよび代数的ノヴィコフスペクトル系列を用い、モチーフ的および古典的設定を関連付ける。
• 古典的ANSSが奇素数においてモチーフ的ANSSを決定できることを応用し、微分および torsion の比較を通じて実現する。
• 重みフィルトレーションおよび重み$(s, t-s)$を用い、$\tau$-主 torsionの可能な位置を分析し、低重みでは除外することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的アダムス＝ノヴィコフスペクトル系列は、複素数および実数上で奇素数におけるモチーフ的ANSSをどの程度決定するか？
• RQ2 $\tau$-主 torsionはモチーフ的ANSSのどこに現れる可能性があり、特定の範囲では除外可能か？
• RQ3 古典的ANSSの微分は、モチーフ的設定にどのように翻訳されるか？また、$\tau$-torsionの唯一の出どころか？
• RQ4 実現ファンクター$R$および$R'$は、モチーフ的および古典的ホモトピー群を関連付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 モチーフ的ANSSに明示的な$\tau$-torsionまたは$\theta$-torsionの例はあるか？その位数および双次数は何か？

主な発見

• 奇素数、複素数上では、古典的ANSSがモチーフ的ANSSおよびその微分を完全に決定する。これは命題5.6で示された。
• 複素数上では、固定された$s'$に対して、重み$\leq \frac{s'}{2}+1$では、古典的微分によって強制されない限り$\tau$-主 torsionは除外される。
• ストレム$t-s = 2l^3 - 2l^2 - 3$では、$\tau$-torsionが位数$l-1$の群が存在し、$l=3$の具体例では、双次数$(s,t-s,u) = (7,33,20)$で$\tau^2$によって消える永久サイクルが得られる。
• 実数上では、同様の結果が成り立ち、$\tau$の代わりに$\theta$が使われる。$\theta$-torsionは、実実現ファンクターおよび重み解析を通じて同様に制約される。
• 実数上では、要素$\theta$はモチーフ的ANSSの永久サイクルであり、$\theta \beta_1$は重み0であり、スペクトル系列に生存する。
• $l=3$の場合、$\theta \beta_1$は$\rpi_{2l-3,0}(S_l^\text{\wedge})$において$\bZ/l \times \bZ/l$群を生成し、古典的もの以上の非自明なモチーフ的ホモトピー群を示す。