[論文レビュー] The MSO+U Theory of (N,<) Is Undecidable

Mikołaj Bojańczyk, Paweł Parys+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、自然数の通常の順序を備えた構造 (N,&lt;) において、MSO+U—単相第二階論理に無限大制限量子化子 U を拡張した論理—が帰納不能であることを証明している。この結果は、無限大の語における帰納不能性を確立することで、未解決の問題を解決し、従来の結果が無限大の木構造と集合論的公理を必要としていたのを改善している。

ABSTRACT

We consider the logic MSO+U, which is monadic second-order logic extended with the unbounding quantifier. The unbounding quantifier is used to say that a property of finite sets holds for sets of arbitrarily large size. We prove that the logic is undecidable on infinite words, i.e. the MSO+U theory of (N,<) is undecidable. This settles an open problem about the logic, and improves a previous undecidability result, which used infinite trees and additional axioms from set theory.

研究の動機と目的

• 構造 (N,&lt;) 上での MSO+U 論理の帰納可能性に関する未解決問題を解決すること。
• 無限大の語、すなわち構造 (N,&lt;) 上での MSO+U 理論の帰納不能性を確立すること。
• 従来の帰納不能性の結果を改善し、無限大の木構造や追加の集合論的公理を必要としないこと。

提案手法

• 単相第二階論理 (MSO) を、任意の有限サイズの集合に対して性質が成り立つことを主張する無限大制限量子化子 U で拡張する。
• 線形順序 (N,&lt;) 上での MSO+U の表現力について分析し、特に無限大の語における定義可能性と表現力に焦点を当てる。
• モデル理論的技法を用いて、定義可能な集合とその無限大制限量子化子における閉包性質を分析する。
• MSO+U における未解決問題をシミュレートする還元または解釈の構成により、(N,&lt;) 上での帰納不能性を示す。無限大制限量子化子の表現力に依存する。
• 無限大制限量子化子により、(N,&lt;) 構造内に未解決の性質を符号化できることを示し、全理論の帰納不能性に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (N,&lt;) の MSO+U 理論は帰納可能か、帰納不能か？
• RQ2 無限大の語上で MSO+U の帰納不能性を、無限大の木構造や集合論的公理に依存せずに確立できるか？
• RQ3 無限大制限量子化子 U の表現力は、(N,&lt;) の文脈においていかなるものか？

主な発見

• (N,&lt;) の MSO+U 理論は帰納不能であり、論理とオートマトン理論における長年の未解決問題を解決している。
• 帰納不能性の結果は、無限大の語、特に構造 (N,&lt;) 上で成り立ち、追加の集合論的公理を必要としない。
• 従来の結果を改善し、無限大の木構造の使用を避け、代わりに線形順序 (N,&lt;) 上で直接作業している。
• 無限大制限量子化子は MSO の表現力を顕著に高め、(N,&lt;) の文脈で未解決の性質を符号化可能にしている。
• この結果は、MSO に無限大制限量子化子を追加すると、単純な構造 (N,&lt;) に対しても帰納不能な論理に変わるということを示している。