[論文レビュー] The Multi-Dimensional Hardy Uncertainty Principle and its Interpretation in Terms of the Wigner Distribution; Relation With the Notion of Symplectic Capacity

Maurice A. de Gosson, Luef, Franz|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティックな対角化を用いて、n次元位相空間におけるハーディーの不確定性原理を拡張し、関数とそのフーリエ変換におけるガウス型減衰推定が、Wigner分布における対応する減衰境界と同値であることを証明する。主な結果として、このような減衰が関連する位相空間楕円体のシンプレクティック容量が半量子の作用以上であることを示し、量子不確定性の幾何的でシンプレクティック不変な定式化を提供する。

ABSTRACT

We extend Hardy's uncertainty principle for a square integrable function and its Fourier transform to the multidimensional case using a symplectic diagonalization. We use this extension to show that Hardy's uncertainty principle is equivalent to a statement on the Wigner distribution of the function. We give a geometric interpretation of our results in terms of the notion of symplectic capacity of an ellipsoid. Furthermore, we show that Hardy's uncertainty principle is valid for a general Lagrangian frame of the phase space. Finally, we discuss an extension of Hardy's theorem for the Wigner distribution for exponentials with convex exponents.

研究の動機と目的

• n次元位相空間におけるハーディーの不確定性原理をシンプレクティック的手法を用いて一般化すること。
• 関数とそのフーリエ変換における減衰推定と、Wigner分布における対応する減衰条件との同値性を確立すること。
• 位相空間楕円体のシンプレクティック容量の観点から、不確定性原理の幾何的解釈を提供すること。
• ハーディーの定理の有効性を、標準的な位置・運動量基底に限らない任意のラグランジュ的フレームに拡張すること。
• Wigner分布の凸な指数的減衰指数を含む不確定性原理への一般化を試みること。

提案手法

• ブロック対角行列のシンプレクティック対角化を用いて、n次元ハーディー問題を標準形に還元する。
• 複素解析を用いない実変数法を適用し、ガウス型減衰に対するn次元ハーディー不確定性原理を証明する。
• Wigner分布を定義し、関数とそのフーリエ変換の減衰からその減衰推定を導出する。
• シンプレクティック容量の概念を導入し、Wigner楕円体 $\mathcal{W}: x^T A x + p^T B p \leq \hbar$ の容量が少なくとも $\frac{1}{2}h$ 以上であることを証明する。
• ジョンの楕円体定理とシンプレクティック容量の単調性を用いて、凸な部分集合の容量に対する下界を導出する。
• ホーファー–ゼンダーのシンプレクティック容量を、Wigner楕円体の境界上における周期的ハミルトニアン軌道に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック幾何学を用いて、ハーディーの不確定性原理を1次元からn次元に一般化する方法は何か？
• RQ2 関数とそのフーリエ変換における減衰推定と、そのWigner分布における減衰との正確な関係は何か？
• RQ3 不確定性原理は、シンプレクティック容量のようなシンプレクティック不変量の観点から再定式化可能か？
• RQ4 ハーディーの不確定性原理は、標準的な位置・運動量基底に限らず、任意のラグランジュ的フレームに対しても成立するか？
• RQ5 ガウス型境界を超えて、凸な指数的減衰を有するWigner分布に対しても、不確定性原理を拡張可能か？

主な発見

• n次元ハーディーの不確定性原理は、Wigner分布 $W\psi(x,p)$ が無限遠で $\mathcal{O}(e^{-\frac{1}{\hbar}(x^T A x + p^T B p)})$ のように減衰するという条件と同値である。
• 位相空間楕円体 $\mathcal{W}: x^T A x + p^T B p \leq \hbar$ のシンプレクティック容量は、少なくとも $\frac{1}{2}h$ 以上である。
• この容量の下界は、すべてのシンプレクティック容量に対して成り立ち、Wigner分布の減衰条件の直接的結果である。
• この結果から、$Q$ が一様凸で $\lambda_Q \leq 2$ である場合、部分集合 $\{z : Q(z) \leq \hbar\}$ のジョン楕円体のシンプレクティック容量が少なくとも $\frac{1}{2}h$ 以上であることが導かれる。
• 任意のWigner楕円体の超曲面 $Q(z) = \hbar$ 上の周期的ハミルトニアン軌道 $\gamma$ に対して、作用積分 $\oint_\gamma p\,dx \geq \frac{1}{2}h$ が成り立つ。
• ハーディーの原理とWigner分布の減衰の同値性は、凸指数関数に対しても成立し、非ガウス状態への適用範囲が拡張されることを示している。