[論文レビュー] The multiset dimension of graphs

Rinovia Simanjuntak, Siagian, Presli+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 2被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、頂点が解消集合への距離の多重集合によって区別される、メトリック次元の新しい変種であるグラフの多重集合次元を導入する。主な貢献は、非パスグラフの多重集合次元が常に3以上であることを確立し、その最小値3を達成する無限族2つ—$n \geq 6$ のサイクル $C_n$ と $m \geq 3, n \geq 2$ のグリッドグラフ $P_m \square P_n$—を特定することである。

ABSTRACT

We introduce a variation of metric dimension, called the multiset dimension. The representation multiset of a vertex $v$ with respect to $W$ (which is a subset of the vertex set of a graph $G$), $r_m (v|W)$, is defined as a multiset of distances between $v$ and the vertices in $W$. If $r_m (u |W) eq r_m(v|W)$ for every pair of distinct vertices $u$ and $v$, then $W$ is called an m-resolving set of $G$. If $G$ has an m-resolving set, then the cardinality of a smallest m-resolving set is called the multiset dimension of $G$, denoted by $md(G)$. If $G$ does not contain an m-resolving set, we write $md(G) = \infty$. In this paper we present basic results on the multiset dimension. We obtain some (sharp) bounds for multiset dimension of arbitrary graphs in term of its metric dimension, order, or diameter. We provide some necessary conditions for a graph to have finite multiset dimension, with an example of an infinite family of graphs where those necessary conditions are also sufficient. We also show that the multiset dimension of any graph other than a path is at least $3$ and finally we provide two families of graphs having the multiset dimension $3$.

研究の動機と目的

• 頂点から解消集合への距離の多重集合に基づいた、新しいグラフ不変量である多重集合次元を形式化し、その性質を調査すること。
• グラフが有限の多重集合次元を持つための必要十分条件を特定すること。
• メトリック次元、次数、直径の観点から、多重集合次元の鋭い上限・下限を確立すること。
• 特にサイクルやグリッドグラフに注目して、多重集合次元が3であるグラフを特徴づけること。
• 有限の多重集合解消集合の存在に影響を与える構造的および対称性の制約を調査すること。

提案手法

• 頂点 $v$ と部分集合 $W \subseteq V(G)$ に対して、$v$ から $W$ のすべての頂点への距離の多重集合を表す $r_m(v|W)$ を定義する。
• すべての異なる $u,v \in V(G)$ に対して $r_m(u|W) \neq r_m(v|W)$ が成り立つような集合 $W$ を m-解消集合と呼び、多重集合による一意な識別を保証する。
• このような m-解消集合の最小サイズを多重集合次元 $md(G)$ と定義し、そのような集合が存在しない場合は $md(G) = \infty$ とする。
• 特にパス、サイクル、グリッドグラフの構造的解析に加え、距離多重集合のケースバイケースの列挙を用いて m-解消集合の有効性を検証する。
• 対称性の議論と自己同型の性質を応用し、特定のグラフ（例えば完全グラフ、小さな対称グラフ）が有限の多重集合次元を持たないことを示す。
• 既知のメトリック次元に関する結果を拡張し、多重集合設定に適用することで、$md(G) \geq \dim(G)$ を証明し、等号が成り立つ条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフが有限の多重集合次元を持つための必要十分条件は何か？
• RQ2 多重集合次元は、古典的なメトリック次元、次数、直径とどのように関係するか？
• RQ3 非パスグラフの多重集合次元の最小値は何か？ また、どのグラフがこの最小値を達成するか？
• RQ4 サイクルやグリッドグラフのような特定の族において、多重集合次元が正確に3であるグラフはどれか？
• RQ5 木やカイリー図などの特定のグラフクラスに対して、多重集合次元を特徴づけることは可能か？

主な発見

• グラフ $G$ の多重集合次元は、常にメトリック次元以上であり、すなわち $md(G) \geq \dim(G)$ が成り立つ。等号は特定のグラフで成立しうる。
• パス $P_n$ の多重集合次元は1であり、多重集合次元が1である唯一のグラフである。
• すべての非パスグラフに対して、多重集合次元は3以上であり、鋭い下界が確立された。
• $n \geq 6$ のサイクルグラフ $C_n$ は、サイズ3の明示的な m-解消集合の構成により、多重集合次元が正確に3であることが示された。
• $m \geq 3, n \geq 2$ のグリッドグラフ $P_m \square P_n$ は、明示的な m-解消集合 $W = \{v_{1,1}, v_{1,2}, v_{3,1}\}$ を用いて、多重集合次元が正確に3であることが示された。
• 特定の木の族や対称グラフの族において、有限の多重集合次元をもつための必要条件が同時に十分条件である無限族が存在する。