[論文レビュー] The Mutually Unbiased Bases Revisited

M. Combescure|arXiv (Cornell University)|May 10, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、シュヴィンガーが導入した基本的なユニタリ行列を用いて、d乗根のユニタリ行列に基づくバーデモンデ行列を活用し、量子情報における相互に偏りのない基底（MUBs）の構成を再考する。任意の次元dにおいて3つのMUBsの存在を証明し、dが偶数または奇数の場合に3つより多くのMUBsが存在するための条件を提示。素数dの場合には既知のd+1個のMUBsの結果を回復するとともに、MUB構造からガウス和の恒等式を導出する。

ABSTRACT

The study of Mutually Unbiased Bases continues to be developed vigorously, and presents several challenges in the Quantum Information Theory. Two orthonormal bases in $\mathbb C^d, B {and} B'$ are said mutually unbiased if $\forall b\in B, b'\in B'$ the scalar product $b\cdot b'$ has modulus $d^{-1/2}$. In particular this property has been introduced in order to allow an optimization of the measurement-driven quantum evolution process of any state $ψ\in \mathbb C^d$ when measured in the mutually unbiased bases $B\_{j} {of} \mathbb C^d$. At present it is an open problem to find the maximal umber of mutually Unbiased Bases when $d$ is not a power of a prime number. oindent In this article, we revisit the problem of finding Mutually Unbiased Bases (MUB's) in any dimension $d$. The method is very elementary, using the simple unitary matrices introduced by Schwinger in 1960, together with their diagonalizations. The Vandermonde matrix based on the $d$-th roots of unity plays a major role. This allows us to show the existence of a set of 3 MUB's in any dimension, to give conditions for existence of more than 3 MUB's for $d$ even or odd number, and to recover the known result of existence of $d+1$ MUB's for $d$ a prime number. Furthermore the construction of these MUB's is very explicit. As a by-product, we recover results about Gauss Sums, known in number theory, but which have apparently not been previously derived from MUB properties.

研究の動機と目的

• 任意の次元dにおける相互に偏りのない基底（MUBs）の、高度な数論を用いない、素朴で構成的なアプローチを提供すること。
• dが素数であろうと合成数であろうと、任意の次元dにおいて少なくとも3つのMUBsが存在することを確立すること。
• 特に偶数および奇数dの場合に、3つより多くのMUBsが構成可能となる条件を導出すること。
• MUB構成から既知のガウス和の恒等式を導出し、量子情報と数論の接点を明確にすること。
• シュヴィンガー行列の対角化を用いた、明示的でアルゴリズム的なMUBsの構成を提供すること。

提案手法

• d乗根のユニタリ行列U（対角行列）と巡回シフト行列Vを用い、k = 0, ..., d-1に対してV_k = V U^kを定義する。
• q = exp(2πi/d)として、(P_0)_{j,k} = d^{-1/2} q^{jk} で与えられるバーデモンデ行列P_0を用い、UのVによる共役作用で対角化すること。
• 行列V_kの対角化を適用し、互いに偏りのないユニタリ行列P_kを生成する。
• 合成次元d = 4m（mが奇数）の場合、4×4およびm×mのMUB構造のテンソル積を用いてMUBsを構成する。
• V_k = P_k D_k P_k^* が成り立つならば、すべてのP_kが偏りのない行列であり、j ≠ kのときP_j^* P_kも偏りのない行列であるという性質を利用する。
• MUBのユニタリ性と偏りの条件から、|∑_{j=0}^{d-1} q^{k j(j+1)/2}| = √d（dが奇数でgcd(k,d)=1のとき）のようなガウス和の恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体論やガウス和に依存せずに、MUBsの単純で素朴な構成が可能かどうか。
• RQ2 任意の次元dにおいて保証されるMUBsの最小数は何か。
• RQ3 dが偶数、奇数、素数、合成数であるような条件下で、3つより多くのMUBsを構成可能となる条件は何か。
• RQ4 既知の数論的恒等式（例：ガウス和）が、MUBの性質から直接導出可能かどうか。
• RQ5 d=6、12、20のような非素数冪次元において、明示的なMUBsの構成が可能かどうか。

主な発見

• 論文は、素数であるかどうかに関係なく、任意の次元dにおいて少なくとも3つの相互に偏りのない基底が存在することを証明した。
• dが素数の場合、構成法により既知の最大のd+1個のMUBsのセットが回復された。
• d=6の場合、この方法により3つのMUBsが構成され、N(6)=3が最大であるという予想を支持する。
• d=12の場合、4×4および3×3のMUB構造のテンソル積を用いて4つのMUBsが得られた。
• d=20の場合、4×4および5×5のMUB構造のテンソル積を用いて5つのMUBsが得られた。
• 論文は、MUBのユニタリ性と偏りの条件から直接、|∑_{j=0}^{d-1} q^{k j(j+1)/2}| = √d（dが奇数でgcd(k,d)=1のとき）というガウス和の恒等式を導出した。