[論文レビュー] The $(n,m,k,\lambda)$-Strong External Difference Family with $m \geq 5$ Exists

Jiejing Wen, Minghui Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$m \geq 5$ を満たす最初に知られている $(n,m,k,\lambda)$-強外部差分族（SEDF）を構成した。具体的には、有限体 $\mathbb{F}_{243}$ 内に $(243, 11, 22, 20)$-SEDF を構成した。この構成は、$\mathbb{F}_{3^5}$ 内の11個の11次円分類を用い、円分数と群環の恒等式を明示的に計算することで、これらの類がSEDF条件を満たすことを証明した。これにより、$m \geq 5$ のようなSEDFの存在に関する未解決問題が解決された。結果として、従来知られていた $m=2$ の場合を越える非自明なSEDFの存在が確認された。

ABSTRACT

The notion of strong external difference family (SEDF) in a finite abelian group $(G,+)$ is raised by M. B. Paterson and D. R. Stinson [5] in 2016 and motivated by its application in communication theory to construct $R$-optimal regular algebraic manipulation detection code. A series of $(n,m,k,\lambda)$-SEDF's have been constructed in [5, 4, 2, 1] with $m=2$. In this note we present an example of (243, 11, 22, 20)-SEDF in finite field $\mathbb{F}_q$ $(q=3^5=243).$ This is an answer for the following problem raised in [5] and continuously asked in [4, 2, 1]: if there exists an $(n,m,k,\lambda)$-SEDF for $m\geq 5$.

研究の動機と目的

• 文献[5]で提起され、[4, 2, 1]でも繰り返された、$m \geq 5$ を満たす $(n,m,k,\lambda)$-SEDF の存在に関する未解決問題を解決すること。
• 有限アーベル群内に $m \geq 5$ を満たす非自明なSEDFの具体的な例を構成すること。
• $\mathbb{F}_{3^5}$ 内の11次円分類が外部差分条件を満たすことを確認することで、これらが有効なSEDFを形成することを示すこと。

提案手法

• 群環記法を用いてSEDF条件を定義する：各 $i$ に対して $\sum_{j \neq i} \Delta(D_i, D_j) = \lambda(G \setminus \{0\})$ が成り立つ。ここで $\Delta(D_i, D_j)$ は差の重複集合 $a_i - a_j$ を表す。
• 有限体 $\mathbb{F}_{243} = \mathbb{F}_3(\theta)$ を用い、$\mathbb{F}_3$ 上で既約な多項式 $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1$ の根 $\theta$ を用いて体を構成し、原始元を特定する。
• 原始元 $\theta$ と部分群 $\langle \theta^{11} \rangle$ を用いて、$\mathbb{F}_{243}^\times$ 内の11個の11次円分類 $C_0, \dots, C_{10}$ を計算する。各類のサイズは22である。
• 代数的恒等式と体の元の明示的ベクトル表現を用いて、$0 \leq i \leq 10$ の各 $i$ に対して円分数 $(i,i)_{11}$ を計算し、$(0,0)_{11} = 1$ および $1 \leq i \leq 10$ のとき $(i,i)_{11} = 2$ であることを示す。
• 恒等式 $\Delta(C_i, C_j) = \sum_{\lambda} (i-j+\lambda, i-j+\lambda)_{11} C_\lambda$ と計算済みの円分数を用いて、$\sum_{j \neq i} \Delta(C_i, C_j) = 20(\mathbb{F}_{243} \setminus \{0\})$ を示すことで、SEDF条件の検証を行う。
• 円分類が $\mathbb{F}_{243} \setminus \{0\}$ を分割することを確認し、かつすべての $i$ に対して差の重複集合条件が一様に成り立つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な $(n,m,k,\lambda)$-SEDF が $m \geq 5$ を満たして存在するか？
• RQ2 有限体内の $e \geq 5$ 次の円分類がSEDFを形成できるか？
• RQ3 円分類の族がSEDFを形成するための必要条件としての円分数の性質は何か？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{F}_{243}$ 内の11次円分類を用いて、$(243, 11, 22, 20)$-SEDF を構成した。
• 円分数 $(i,i)_{11}$ が $(0,0)_{11} = 1$ および $1 \leq i \leq 10$ のとき $(i,i)_{11} = 2$ を満たすことが証明された。これはSEDF条件の検証に不可欠な結果である。
• すべての $i$ に対してSEDF条件が成り立つことが確認された。すなわち $\sum_{j \neq i} \Delta(C_i, C_j) = 20(\mathbb{F}_{243} \setminus \{0\})$ が成り立つ。これにより、族 $\{C_0, \dots, C_{10}\}$ が有効なSEDFであることが示された。
• 本構成により、$m \geq 5$ を満たす非自明なSEDFの最初に知られた例が得られ、長年の未解決問題が解決された。
• 各 $C_i$ がパラメータ $(243, 22, 1, 2)$ の部分差分集合であることが示され、$\lambda = \mu - 1$ を満たす。これはPDS分割を用いたSEDF構成を支持する。
• この結果は、$\lambda = \mu - 1$ を満たすPDSから $m = 11$ のSEDFを構成可能であることを示唆しており、今後の一般化SEDF構成のためのPDSのさらなる調査が提案されている。