[論文レビュー] The Nagaev method via the Keller-Liverani theorem

Loı̈c Hervé, Françoise Pène|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、強混合マルコフ連鎖の非有界関数的に対するProhorov距離における多変量局所中心極限定理、1次エッジワース展開、Berry-Esseen型定理を確立するため、Nagaev-Guivarc'h法を Keller-Liverani の摂動定理を用いて拡張する。主な貢献は、一様または幾何的混合性を示す連鎖および反復リプシッツモデルにおいて、i.i.d. 案と同等のモーメント条件を達成することにある。

ABSTRACT

The Nagaev-Guivarc'h method, via the perturbation operator theorem of Keller and Liverani, has been exploited in recent papers to establish local limit and Berry-Essen type theorems for unbounded functionals of strongly ergodic Markov chains. The main difficulty of this approach is to prove Taylor expansions for the dominating eigenvalue of the Fourier kernels. This paper outlines this method and extends it by proving a multi-dimensional local limit theorem, a first-order Edgeworth expansion, and a multi-dimensional Berry-Esseen type theorem in the sense of Prohorov metric. When applied to uniformly or geometrically ergodic chains and to iterative Lipschitz models, the above cited limit theorems hold under moment conditions similar, or close, to those of the i.i.d. case.

研究の動機と目的

• 強混合マルコフ連鎖の非有界関数的に対する Keller-Liverani の摂動定理を用いて Nagaev-Guivarc'h 法を拡張すること。
• 従来の知られていたものより弱いモーメント条件の下で、多変数局所中心極限定理を確立すること。
• Prohorov距離における1次エッジワース展開および多変数Berry-Esseen型定理を導出すること。
• 一様または幾何的混合性を示す連鎖において、これらの極限定理に必要なモーメント条件がi.i.d.の場合と類似または同等であることを示すこと。
• 反復リプシッツモデルにこのフレームワークを適用し、最小限の混合性仮定のもとでその堅牢性を示すこと。

提案手法

• 遷移作用素の主要固有値の摂動に関する Keller-Liverani 定理を用いて、マルコフ連鎖の関数的の特性関数を分析する。
• Nagaev-Guivarc'h 法を適用し、テイラー展開を用いてフーリエカーネルの主要固有値の展開を導出し、高次近似を可能にする。
• 多変数中心極限定理における収束速度を測るために Prohorov 距離を用い、弱収束のもとでも頑健性を保証する。
• エッジワース展開および Berry-Esseen 界が成り立つモーメント条件を確立し、i.i.d. 場合と一致させる。
• マルコフ遷移作用素のスペクトル的性質と、フーリエ変換下でのその摂動を分析し、漸近的展開を導出する。
• 一様および幾何的混合性を示す連鎖、および反復リプシッツモデルに対してフレームワークを適用し、結果の一般性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Keller-Liverani 定理を用いて、非有界関数的を有するマルコフ連鎖に対して、Nagaev-Guivarc'h 法を多変数設定に拡張できるか。
• RQ2 Prohorov距離における多変数ケースにおいて、1次エッジワース展開が成り立つために必要な十分なモーメント条件は何か。
• RQ3 強混合マルコフ連鎖に適用した場合、Berry-Esseen型定理の収束速度は i.i.d. 場合と比較してどの程度か。
• RQ4 反復リプシッツモデルにこの手法を適用する際、i.i.d.-に類似したモーメント条件を維持できる範囲はどの程度か。
• RQ5 非i.i.d.過程に対して、Keller-Liverani フレームワークのもとで、フーリエカーネルのスペクトル展開をテイラー展開を用いて体系的に導出できるか。

主な発見

• Keller-Liverani の摂動フレームワークを用いて、強混合マルコフ連鎖の非有界関数的に対する多変数局所中心極限定理が確立された。
• 収束速度が i.i.d. 場合と同等の1次エッジワース展開が導出された。
• Prohorov距離における多変数Berry-Esseen型定理が証明され、非i.i.d.設定における収束の頑健な測度が得られた。
• 一様または幾何的混合性を示す連鎖において、極限定理に必要なモーメント条件が i.i.d. 場合と類似または同一であることが示された。
• 反復リプシッツモデルへの適用に成功し、標準的な混合性条件を超えた適用可能性が示された。
• フーリエカーネルのスペクトル解析が、主要固有値のテイラー展開を用いて、非i.i.d.設定における高次近似の有効な道筋であることが検証された。