[論文レビュー] The Need for Structure in Quantum Speedups

Scott Aaronson, Andris Ambainis|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、十分に多くの出力をもつ対称的問題—たとえば衝突問題や要素の相違性の問題—に対して、量子クエリ複雑性が古典的ランダム化クエリ複雑性の7乗根以上であることを確立し、Watrous (2002) が提起した予想を解決した。さらに、すべての有界な低次多項式には顕著に影響力の強い変数が存在するとの予想を提示しており、これはすべてのTクエリ量子アルゴリズムが、ほとんどの入力に対してT^O(1)クエリの古典的アルゴリズムでシミュレート可能であることを示唆し、構造のない状況では超多項式的量子スピードアップが実現できないことを制限する。

ABSTRACT

Is there a general theorem that tells us when we can hope for exponential speedups from quantum algorithms, and when we cannot? In this paper, we make two advances toward such a theorem, in the black-box model where most quantum algorithms operate. First, we show that for any problem that is invariant under permuting inputs and outputs (like the collision or the element distinctness problems), the quantum query complexity is at least the 7th root of the classical randomized query complexity. (An earlier version of this paper gave the 9th root.) This resolves a conjecture of Watrous from 2002. Second, inspired by recent work of O'Donnell et al. (2005) and Dinur et al. (2006), we conjecture that every bounded low-degree polynomial has a "highly influential" variable. Assuming this conjecture, we show that every T-query quantum algorithm can be simulated on most inputs by a poly(T)-query classical algorithm, and that one essentially cannot hope to prove P!=BQP relative to a random oracle.

研究の動機と目的

• 量子アルゴリズムが古典的アルゴリズムに対して指数的スピードアップを達成できる条件を特定すること。
• 特にブラックボックスクエリモデルにおける構造の役割を形式化すること。
• 多くの出力をもつ対称的問題において、量子クエリ複雑性が古典的ランダム化クエリ複雑性の7乗根以上であるという予想を解決すること。
• 多項式の影響力と量子アルゴリズムの古典的シミュレーションとの関係を調査すること。
• プロミスや入力の対称性に構造的制約がない場合、超多項式的量子スピードアップが可能かどうかを検討すること。

提案手法

• ブラックボックスモデルにおける量子クエリ複雑性を分析するために、多項式法と敵対法を用いる。
• 対称的問題における量子クエリ複雑性の下界を導出するために、変更されたハイブリッド法のバージョンを適用する。
• 多項式の影響力に関する予想を仮定して、有界な低次多項式における「顕著に影響力の強い」変数を特定するための新しい技法を導入する。
• 古典的アルゴリズムによる量子アルゴリズムのシミュレーション問題を、受容確率を小さな誤差内で保持する小さな影響力を持つ入力ビットの集合を見つける問題に還元する。
• P = P^#P ならば、非適応的古典的クエリを用いて量子アルゴリズムをPでシミュレートできることを示すために、数え上げ階層の議論を用いる。
• O’Donnell らおよび Dinur らのブール関数における影響力に関する結果を、多項式構造に関する予想を裏付けるために活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的でない問題と構造的な問題を分ける一般の量子クエリ複雑性下限を証明できるか？
• RQ2 多くの出力をもつ対称的問題において、7乗根の下限はタイトであり、より改善可能か？
• RQ3 すべての有界な低次多項式には、顕著に影響力の強い変数が存在するという予想は正しいか？
• RQ4 すべてのTクエリ量子アルゴリズムは、ほとんどの入力に対してT^O(1)クエリの古典的アルゴリズムでシミュレート可能か？
• RQ5 影響力の予想のもとで、ランダムオракルに関してP ≠ BQPを証明できるか？

主な発見

• 十分に多くの出力をもつ対称的問題において、量子クエリ複雑性は古典的ランダム化クエリ複雑性の7乗根以上である。これはWatrous (2002) が提起した予想を解決するものである。
• ハイブリッド法の精密な分析と入力の対称性を活用することで、以前の9乗根の下限を7乗根の下限に改善した。
• 多項式の影響力に関する予想を仮定すれば、すべてのTクエリ量子アルゴリズムは、ほとんどの入力に対してT^O(1)クエリの古典的アルゴリズムでシミュレート可能である。
• 同じ予想のもとで、P ≠ BQP をランダムオラクルに関して証明するのは困難であると考えられる。なぜなら、量子スピードアップは古典的にシミュレート可能になるからである。
• 古典的シミュレーションは非適応的であり、入力に関して高い確率で成立するため、構造的制約のない状況では超多項式的量子スピードアップは実現しにくい。
• 結果から、量子スピードアップは周期性や隠れ部分群構造といった、グローバルな対称性や規則性をもつ問題に限定的であることが示唆される。