[論文レビュー] The net created from the Penrose tiling is biLipschitz to the integer lattice

Yaar Solomon|ArXiv.org|Nov 23, 2007

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、密度のずれを含むある積が収束することを示すことにより、ペイノスタイリングから導かれる分離されたネットが整数格子 ℤ² に双リプシッツ同値であることを証明している。kite と dart の再帰的縮小を用いて、kite と dart の比率が黄金比 φ へ指数関数的に収束することを確立し、その結果、積 ∏Eρ(2ⁱ) が収束するようなスケーリング係数 ρ の選択が可能になる。これにより、双リプシッツ同値性が示される。

ABSTRACT

A separated net is a set of points which is relatively dense and uniformly discrete (another name for a Delone set). We are dealing with tilings and separated nets in Euclidean spaces and with the question whether a given separated net is biLipschitz to the integer lattice. In this paper we show, as an answer to a question of Burago and Kleiner, that the net that is obtained form the Penrose tiling is biLipschitz to the integer lattice.

研究の動機と目的

• ペイノスタイリングから構成された分離されたネットが整数格子 ℤ² に双リプシッツ同値であることを確立すること。
• 繰り返しの縮小の下で、大きな正方形における kites と darts の漸近的分布を分析すること。
• タイリングにおける kite と dart の数の比が、指数的スピードで黄金比 φ に収束することを示すこと。
• 適切に選ばれた ρ に対して、積 ∏ᵢ Eρ(2ⁱ) が収束することを証明し、[BK02] の結果により双リプシッツ同値性を示すこと。
• ℝ² における一般の置換タイリングへのこの手法の拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• ペイノスタイリングの各タイルに1点ずつ配置することで、最小間隔と被覆性を満たす分離されたネット Y を定義する。
• kite と dart における縮小操作を用いて、再帰的関係 Kₙ₊₁ = 2Kₙ + Dₙ と Dₙ₊₁ = Kₙ + Dₙ を導出する。
• xₙ = Kₙ/Dₙ を定義し、再帰的関係 xₙ₊₁ = (2xₙ + 1)/(xₙ + 1) がリプシッツ定数 1/4 の収縮写像であることを示す。
• 収縮写像定理を用いて、n ≥ 3 のとき |Kₙ/Dₙ - φ| ≤ 1/2ⁿ⁻¹ を証明する。
• 大規模な正方形 𝒰（辺長 2ⁱ）における境界効果を、部分的に交差するタイルが覆う面積を抑えながら推定する。
• ρ = φ² / [(1 + φ²)ψ] とすることで、密度比 ρ|𝒰| / |𝒰 ∩ Y| が 1 に近くなるように選び、Eρ(2ⁱ) - 1 ≤ 10φ⁻ⁱᐟ³（i ≥ 50）を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペイノスタイリングから生成される分離されたネットは、整数格子 ℤ² に双リプシッツ同値であるか？
• RQ2 繰り返しの縮小の下で、kite と dart の数の比はどの程度の速さで黄金比 φ に収束するか？
• RQ3 大規模な正方形におけるネットの密度のずれは、十分に制御可能であり、積 ∏Eρ(2ⁱ) の収束を保証できるか？
• RQ4 ペイノスタイリングに用いられた手法は、ℝ² における一般の置換タイリングへ拡張可能か？
• RQ5 どのスケーリング係数 ρ を選べば、積 ∏Eρ(2ⁱ) が収束するか？

主な発見

• 縮小されたタイリングにおける kite と dart の数の比は、n ≥ 3 のとき、誤差が 1/2ⁿ⁻¹ で抑えられる速度で黄金比 φ に収束する。
• i ≥ 50 のとき、辺長 2ⁱ の大きな正方形において、kite と dart からのネット点の比 K/D は |K/D - φ| ≤ φ⁻ⁱᐟ³ を満たす。
• スケーリング係数 ρ = φ² / [(1 + φ²)ψ] を選ぶことで、i ≥ 50 のとき Eρ(2ⁱ) - 1 ≤ 10φ⁻ⁱᐟ³ が成り立つ。
• 積 ∏ᵢ₌₁^∞ Eρ(2ⁱ) は収束し、[BK02] の結果により、分離されたネット Y が ℤ² に双リプシッツ同値であることが示される。
• Eρ(2ⁱ) の収束速度は指数的であり、φ⁻ⁱᐟ³ の減衰に起因し、対数和が有限であることが保証される。