[論文レビュー] The Neumann Problem for Hessian Equations

Xi‐Nan Ma, Guohuan Qiu|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一様凸領域におけるヘシアン方程式のノイマン問題に対して、グローバルな2階微分係数推定を確立することにより、古典的解の存在を示した。これにより、N. トゥリディンガー（1986）の予想が $2 \leq k \leq n-1$ の場合に裏付けられた。著者らは、ノイマン条件に由来する境界項を制御するための新規なバリア関数を開発し、$C^2$推定と連続性法による存在証明を可能にした。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of a classical solution to a Neumann boundary problem for Hessian equations in uniformly convex domain. The methods depend upon the established of a priori derivative estimates up to second order. So we give a affirmative answer to a conjecture of N. Trudinger in 1986.

研究の動機と目的

• N. トゥリディンガー（1986）が提起した、一様凸領域におけるヘシアン方程式のノイマン問題の可解性に関する長年の予想を解決すること。
• ノイマン境界条件を伴うヘシアン方程式に対して、グローバルな2階微分係数推定を確立すること。
• 領域およびデータの自然な正則性と凸性仮定のもとで、一意的な古典的 $C^{3,\alpha}$ 解の存在を証明すること。
• ノイマン条件に現れる外法線ベクトルの法線微分を含む境界項の困難さを克服すること。

提案手法

• 補助関数およびバリア構成を用いて、事前推定としての $C^0$、$C^1$、$C^2$ 推定を導出する。
• ノイマン条件に由来する困難な項 $\sum F^{ij} u_{ik} D_j \nu^k$ を制御するための新しいバリア関数を導入する。
• グローバル $C^2$ 推定を、注意深く構築された補助関数 $\overline{P}$ を通じて境界二重法線微分の制御に還元する。
• トーブル近傍 $\Omega_\mu$ における $\overline{P}$ に最大原理を適用し、法線-法線方向2階微分の境界を導出する。
• グローバル $C^{2,\alpha}$ 推定に依存する連続性法を用いて、古典的解の存在を証明する。
• ヘシアン測度理論および楕円型正則性に関する既知の結果を活用して、存在証明を完結させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様凸領域において、球の場合を除き、ヘシアン方程式のノイマン問題は解けるか？
• RQ2 外法線ベクトルの法線微分を含むノイマン境界項を制御できるバリア関数の構造は何か？
• RQ3 $C^4$ 一様凸領域における $k$-ヘシアン方程式のノイマンデータに対するグローバル2階微分係数推定を導出することは可能か？
• RQ4 $C^0$ および $C^1$ 推定は、存在証明における $C^2$ 推定とどのように相互作用するか？

主な発見

• 著者らは、トゥリディンガーの1986年予想を確認した：$C^4$ 一様凸領域における $k$-ヘシアン方程式のノイマン問題に対して、古典的解が存在する。
• グローバル $C^2$ 推定が確立され、$\partial\Omega$ 上の $|u_{\nu\nu}|$ の境界は $n$、$k$、$||u||_{C^1}$、$\min f$、$||\varphi||_{C^3}$、および $\partial\Omega$ の $C^4$-正則性に依存する。
• 主な革新点は、問題の多いノイマン境界項を支配する正定値項を抽出できる新しいバリア関数の開発である。
• 連続性法により、与えられた仮定のもとで一意的な $k$-適正解 $u \in C^{3,\alpha}(\overline{\Omega})$ が得られる。
• 証明は、グローバル $C^2$ 推定を境界二重法線微分の制御に還元するという点に依拠しており、これは修正された補助関数上で最大原理を適用することで達成される。