[論文レビュー] The Neumann problem of Hessian quotient equations

Chuanqiang Chen, Dekai Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、滑らかで強い凸性を持つ $C^4$ 域において、ヘシアン商方程式 $\sigma_k(D^2u)/\sigma_l(D^2u) = f(x)$ のノイマン問題に対して、グローバルな $C^2$ 評価を確立し、$k$-適正解の存在を証明する。正則化法と連続性法を用いて、$\varepsilon$-正則化と併用し、任意の定数を除いて一意な $C^{3,\alpha}$ 解が得られる。これは、従来の $k$-ヘシアン方程式およびモンジュ＝アンプère方程式の結果を、より一般的なヘシアン商設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we obtain some important inequalities of Hessian quotient operators, and global $C^2$ estimates of the Neumann problem of Hessian quotient equations. By the method of continuity, we establish the existence theorem of $k$-admissible solutions of the Neumann problem of Hessian quotient equations.

研究の動機と目的

• ノイマン問題の存在理論を、$k$-ヘシアン方程式およびモンジュ＝アンプère方程式から、より一般的なヘシアン商方程式へと拡張すること。
• 滑らかで強い凸な領域におけるヘシアン商方程式のノイマン問題に対して、グローバルな $C^2$ 事前評価を確立すること。
• トゥルディンガーの予想（滑らかで強い凸な領域における $k$-ヘシアン方程式のノイマン問題の可解性）を、ヘシアン商方程式に一般化することで解決すること。
• 正則化と極限のアプローチを用いて、古典的ノイマン問題に対する $k$-適正解（定数を除いて一意）の存在を証明すること。

提案手法

• 境界条件が $\varepsilon$ に依存する正則化ノイマン問題 $(u^\varepsilon)_\nu = -\varepsilon u^\varepsilon + \varphi(x)$ を導入し、十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して一様楕円性と可解性を保証する。
• 最大原理の技法と領域の曲率仮定を用いて、正則化問題に対するグローバルな $C^0$、$C^1$、$C^2$ 事前評価を確立する。
• ヘシアン商作用素の凹性を活用し、連続性法を適用して、各 $\varepsilon > 0$ に対して $C^{3,\alpha}$ 解の存在を証明する。
• 一様な $C^2$ 界とアーヴェラ・アスコーリ型コンパクトネスを用いて、$\varepsilon \to 0$ の極限に移行し、古典的ノイマン問題の解を得る。
• 最大原理とホフプ法を用いて、極限解の定数を除いての一意性を確立する。
• シュワルツの理論と正則性伝播を活用し、$C^2$ 解を $C^{3,\alpha}$ 正則性へと高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘシアン商方程式のノイマン問題は、滑らかで強い凸な領域において解けるか。これは、既知の $k$-ヘシアン方程式およびモンジュ＝アンプère方程式の結果を拡張するものか？
• RQ2 ヘシアン商方程式のノイマン問題に対する $k$-適正解の存在を保証するのに、必要な十分な事前評価は何か？
• RQ3 加法的定数のための一様な有界性が欠如する状況下で、完全非線形ヘシアン商方程式のノイマン問題に連続性法をどのように適合できるか？
• RQ4 領域の厳密な凸性が、グローバルな2階微分係数評価を境界の法線微分に還元するために果たす役割は何か？
• RQ5 正則化法による $\varepsilon$-正則化は、ヘシアン商方程式の古典的ノイマン問題における一意性の欠如とコンパクトネスの欠如を克服するために用いられるか？

主な発見

• 滑らかで強い凸な $C^4$ 域において、ヘシアン商方程式のノイマン問題に対して、グローバルな $C^2$ 事前評価が確立された。
• 適切な正則性および正値性仮定の下で、ノイマン問題 $\sigma_k(D^2u)/\sigma_l(D^2u) = f(x)$、$u_\nu = -u + \varphi(x)$ に対して、$C^{3,\alpha}(\overline{\Omega})$ 内に唯一の $k$-適正解が存在することが証明された。
• 古典的ノイマン問題 $u_\nu = c + \varphi(x)$ に対しても、定数を除いて一意な解が存在し、これは $\varepsilon$-正則化問題の極限として得られる。
• $C^2$ 界は $\varepsilon$ に依存せず、$u^\varepsilon$ が $\varepsilon \to 0$ のとき解 $v$ に一様収束することが示された。また、$-\varepsilon u^\varepsilon \to c$ である。
• 微分方程式にシュワルツの推論を適用することで、解は $C^{3,\alpha}$ 正則性を満たす。
• 2つの解の差に最大原理とホフプ法を適用することで、定数を除いての一意性が導かれる。