[論文レビュー] The Nevanlinna-type parametrization for the operator Hamburger moment problem

Sergey M‎. ‎Zagorodnyuk|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、解が存在するという前提以外に追加の仮定を必要としない一般のヒルバート空間上の作用素ハムバーグモーメント問題に対して、ネバンリンナ型のパrametrizationを提示する。一般化されたリゾルベントと作用素値シュール関数を含む線形分数変換を確立し、モーメント問題の解を単位円板上の収縮的で正則な作用素値関数と関連付ける。これにより、スペクトル理論と等長拡張を用いて、完全かつ明示的な解法フレームワークが得られる。

ABSTRACT

In this paper we obtain a Nevanlinna-type parametrization for the operator Hamburger moment problem. The moment problem is not supposed to be necessarily completely indeterminate. No assumptions besides the solvability of the moment problem are posed.

研究の動機と目的

• 任意のヒルバート空間上での作用素ハムバーグモーメント問題のすべての解を完全にネバンリンナ型でパラメータ表示すること。
• 従来の手法で必要とされたモーメント行列の厳密な正定性などの追加仮定を排除すること。
• モーメント問題の解と単位円板上のシュールクラスに属する正則な作用素値関数との間の一対一対応を確立すること。
• スペクトル理論と等長拡張を用いて、古典的ネバンリンナ理論を作用素設定に一般化すること。
• 一般化されたリゾルベントと作用素論的技法を用いて、構成的かつ明示的な解の公式を提供すること。

提案手法

• モーメント列 {S_n} から、補助ヒルバート空間 H 内のジャコビ行列型構造を介して閉じた対称作用素 A を構成する。
• A のカイリー変換 V = (A + iE_H)(A - iE_H)^{-1} を定義し、H 上のユニタリ作用素を得る。
• 作用素値関数 Φ_ζ ∈ S(𝔻; H⊖D(V), H⊖R(V))、すなわち単位円板上の収縮的で正則な作用素値関数（シュールクラス）を用いた一般化されたリゾルベント表現によって、解の表現を定義する。
• 解のステイリージェス変換を、等長拡張のリゾルベントとシュール関数 Φ_ζ に依存する線形分数変換の公式として導出する。
• リゾルベント表現に対してフロベニウスの逆行列公式を適用し、作用素 A_z, B_z(Φ), C_z, H_z(Φ) を用いた解の明示的パラメータ表示を導出する。
• 元のヒルバート空間 H を循環部分空間 ℳ_i(A) に写像する有界線形作用素 K: H → ℳ_i(A) を確立し、K とリゾルベント成分を含む内積を用いた最終的なパラメータ表示を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメント行列の厳密な正定性を仮定せずに、作用素ハムバーグモーメント問題に対してネバンリンナ型のパラメータ表示を構成可能か？
• RQ2 一般化されたリゾルベントや等長拡張などの作用素論的ツールを用いて、作用素モーメント問題の解を明示的にパラメータ表示可能か？
• RQ3 解 F(t) と単位円板上のシュールクラスに属する正則な作用素値関数との間の正確な対応関係は何か？
• RQ4 解のステイリージェス変換は、シュール関数 Φ_ζ を含む線形分数変換としてどのように表現できるか？
• RQ5 すべてのモーメント問題の解とシュールクラス S(𝔻; H⊖D(V), H⊖R(V)) に属するすべての関数との間の一対一かつ全単射対応を構成可能か？

主な発見

• 本稿では、有界作用素係数を有する線形分数変換を用いて、作用素ハムバーグモーメント問題のすべての解を完全にネバンリンナ型でパラメータ表示することに成功した。
• モーメント問題の各解 F(t) は、シュールクラス S(𝔻; H⊖D(V), H⊖R(V)) に属する関数 Φ_ζ と一意に対応づけられ、一対一対応が得られた。
• パラメータ表示は、モーメント列 {S_n} から構成された対称作用素の一般化されたリゾルベントを用い、カイリー変換とフロベニウスの逆行列公式を経由して導出された。
• 解のステイリージェス変換は、作用素 K と Φ_ζ に依存するリゾルベント表現を含む内積として表現され、A_z, B_z(Φ), C_z, H_z(Φ) の明示的公式が得られた。
• このパラメータ表示は、任意のヒルバート空間 H（可分でないものも含む）に対して成り立ち、解が存在するための必要十分条件 (2) 以外に追加の仮定を必要としない。
• 本結果は、古典的ネバンリンナ理論を作用素設定に一般化し、作用素ハムバーグモーメント問題に対して構成的で明示的かつ完全な解法フレームワークを提供する。