[論文レビュー] The New Existence and Uniqueness Results for Complex Nonlinear Fractional Differential Equation

Müfit Şan, Kamal N. Soltanov|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単位円板における複素非線形分数マーチ方程式（FDE）の新たな存在および一意性定理を、リーマン＝リウヴィル分数マーチ微分の複素一般化を用いて確立する。シュワルツの補題と解析接続を適用することで、カプート型またはリーマン＝リウヴィル型微分を有する初期値問題（IVP）が、$[0,R]$ 上で連続で、$(0,R)$ 上で実解析的であるような少なくとも1つの局所解を有することを示す。ここで $R \leq 1$ であり、非線形項にやや弱い解析性および成長条件が課される。

ABSTRACT

In this article, we obtain existence and uniqueness results to some problems involving complex nonlinear fractional differential equations (FDEs) in the closed unit disc of C. By help of these results, we prove that some IVPs for some fractional differential equations with Caputo or Riemann-Liouville derivative admit at least one local (or unique) solution continuous on a closed interval $[0,R]$ and real analytic on $(0,R),$ where $0

研究の動機と目的

• 複素非線形分数マーチ方程式（FDE）の存在および一意性結果を、閉単位円板 $\mathbb{U}$ において確立すること。
• 実数の分数マーチ初期値問題（IVP）に対する古典的定理を、解析関数論を用いて複素領域へ拡張すること。
• 適切な成長および解析性条件のもとで、解が $(0,R)$ 上で実解析的で $[0,R]$ 上で連続であることを示すこと。ここで $R \leq 1$。
• 複素変数アプローチが、従来の実変数法よりも強力でより一般的な結果をもたらすことを示すこと。
• 実部の抽出により、複素FDEの解と実分数マーチIVPを関連づけ、実解の解析性および一意性を保証すること。

提案手法

• 単位円板 $\mathbb{U}$ 上で定義された、リーマン＝リウヴィル分数マーチ微分の複素一般化を用いる。ここで $0 < a < 1$。
• 非線形項 $f(z,t)$ に条件 (I) および (II) を課す：$f(z,t)$ が $\mathbb{U} \times \mathbb{C}$ 上で $z^a f(z,t)$ として解析的であること、および初期条件 $z^a f(z,b)|_{z=0} = b / \Gamma(1-a)$ を満たすこと。
• シュワルツの補題を用いて、Lipschitz型条件 $|f(z,\eta) - f(z,\nu)| < \kappa |z|^{-a} |\eta - \nu|$ および $\kappa < 1 / \Gamma(2-a)$ の下で一意性を証明する。
• 実FDEの右辺の解析接続を用いて複素FDEを定義し、複素解の実部が元の実IVPを満たすことを保証する。
• 成長バウンド $|z^a f(z,t)| \leq c|t-b|^{n_0} + |h(z)|$ の下で、$\overline{\mathbb{U}}_R$ 上の解析関数のバナッハ空間における不動点定理を用いて存在を確立する。
• Caputoとリーマン＝リウヴィル微分の関係 $^C D^a u(x) = D^a (u(x) - u(0))$ を用いて、Caputo型問題へ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝リウヴィル型分数マーチ微分を有する複素非線形FDEが、$\mathbb{U}$ 上で解析的で $\overline{\mathbb{U}}$ 上で連続な解を有するための条件は何か？
• RQ2 解析接続およびシュワルツの補題を用いた複素変数アプローチが、従来の実変数法よりも強い存在および一意性結果をもたらす仕組みは何か？
• RQ3 複素FDE解の実部が、リーマン＝リウヴィル型またはカプート型微分を有する対応する実分数マーチIVPを満たすための条件は何か？
• RQ4 $z^a f(z,t)$ の単射性が、複素FDEの解の単射性を意味するか？
• RQ5 従来の知られていた条件よりも広い条件下で、実分数マーチIVPの実解析的解の存在を保証できるか？

主な発見

• 条件 (I) および (II) を満たす $f$ のもとで、問題 $D_z^a u(z) = f(z,u(z))$ および $u(0) = b$ は、ある $R \in (0,1]$ に対して、$\mathbb{U}_R$ 上で解析的で $\overline{\mathbb{U}}_R$ 上で連続な解 $u \in \mathcal{B}_R$ を少なくとも1つ有する。
• Lipschitz型条件 $\kappa < 1 / \Gamma(2-a)$ の下で、同じ問題の解は $\mathcal{B}_R$ 内で一意である。
• 問題 $D_z^a (u(z) - u(0)) = f(z,u(z))$ に対しても、$z^a f(z,b)|_{z=0} = 0$ の下で、同様の条件のもとで存在および一意性が確立される。
• 実部 $\Re(f(z,t))$ が $f(x,y)$ に一致する場合、複素解 $u(z)$ の実部は、リーマン＝リウヴィル型またはカプート型微分を有する実分数マーチIVP $\mathcal{D}^a u(x) = f(x, u(x))$ を満たす。
• 非線形項 $z^a f(z,t)$ が $z$ および $t$ に関して線形である場合、実解は $(0,1)$ 上で一意かつ実解析的で、$[0,1]$ 上で連続である。
• シュワルツの補題の使用により、一意性結果における $f$ のクラスが、従来の研究よりも広がり、結果として改善されている（注記3.9(i)）。