[論文レビュー] The Newell-Whitehead-Segel Equation for Traveling Waves

Boris A. Malomed|ArXiv.org|May 7, 1996

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ほぼ1次元の移動波をモデル化するためのニューウェル＝ホワイトヘッド＝セゲル（NWS）方程式の分散一般化を導入し、修正されたベンジャミン＝ファイア基準を用いた横方向安定性解析を実施する。有効なバーガー方程式が導出され、結晶粒界（GB）欠陥の解析が可能となり、非対称なGBは一定速度で移動し、一般解としてのショック波解として特徴づけられる。可積分性のおかげで、非線形系における過渡的ダイナミクスや相互作用の解析が可能となり、特に光ファイバー光学を含む応用が示唆される。

ABSTRACT

An equation to describe nearly one-dimensional traveling-waves patterns is put forward. This is a dispersive generalization of the classical Newell-Whitehead-Segel (NWS) equation. Transverse stability of plane waves is considered within the framework of this equation. It is shown that the dispersion terms drastically alter the stability. A necessary stability condition is obtained in the form of a transverse Benjamin-Feir criterion. If this condition is met, a quarter of the plane-wave existence band (in terms of the squared wave number) is unstable, while three quarters are transversely stable. Next, linear defects in the form of grain boundaries (GB's) are studied. An effective Burgers equation is derived from the dispersive NWS equation, in the framework of which a GB is tantamount to a shock wave. It is shown that the GB's are generic solutions. Asymmetric GB's are moving at a constant velocity, which is found. The integrability of the Burgers equation allows one as well to analyze transient processes and interactions between parallel GB's. The shock-wave solutions obtained in this work may also find applications in nonlinear fiber optics.

研究の動機と目的

• ほぼ1次元の移動波パターンをモデル化するための古典的ニューウェル＝ホワイトヘッド＝セゲル方程式の分散拡張を開発すること。
• 分散を含む状況下での平面波の横方向安定性を分析し、分散NWS方程式から導出された修正されたベンジャミン＝ファイア基準を特定すること。
• 導出された有効方程式におけるショック波解としての結晶粒界（GB）としての線形欠陥を調査すること。
• 有効バーガー方程式の可積分性を確立し、平行なGB間の過渡的ダイナミクスおよび相互作用の解析に活用すること。
• ショック波解の非線形光ファイバー光学およびパターン形成系への応用可能性を検討すること。

提案手法

• ほぼ1次元の移動波に伴う横方向ダイナミクスを記述するため、古典的NWS方程式の分散一般化を定式化する。
• 分散NWS方程式から導出された修正されたベンジャミン＝ファイア基準を用いて、平面波の横方向安定性を分析する。
• 結晶粒界ダイナミクスの文脈で、分散NWS方程式から有効バーガー方程式を導出する。
• GBを有効バーガー方程式の枠組み内でショック波としてモデル化し、その可積分性を活用して解析的取り扱いを可能にする。
• バーガー方程式の可積分構造を用いて、非対称GBの一定速度運動を解析的に特定する。
• モデルを非線形光ファイバー光学に適用し、光パルスダイナミクスおよび欠陥の伝播に関する関連性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散性がニューウェル＝ホワイトヘッド＝セゲル系における平面波の横方向安定性にどのように影響するか？
• RQ2 分散NWS方程式における平面波の横方向安定性を保証する条件は何か？ また、古典的ケースとはどのように異なるか？
• RQ3 この系における結晶粒界は、有効方程式におけるショック波として記述可能か？ もしそうなら、その方程式の性質は何か？
• RQ4 非対称結晶粒界の速度は何か？ その運動は安定的かつ一定速度で進行するか？
• RQ5 有効バーガー方程式の可積分性は、平行なGB間の過渡的ダイナミクスおよび相互作用の解析にどの程度活用可能か？

主な発見

• 分散NWS方程式は、横方向ベンジャミン＝ファイア基準を導入し、平面波存在帯の75%が横方向に安定で、25%が不安定であることが判明した。
• 分散NWS方程式から導出された有効バーガー方程式は、結晶粒界を一般欠陥としてモデル化するショック波解を支持する。
• 非対称結晶粒界は一定速度で移動し、バーガー方程式の可積分性を用いて解析的に特定された。
• バーガー方程式の可積分性のおかげで、過渡的ダイナミクスおよび平行なGB間の相互作用の詳細な解析が可能となった。
• 本研究で得られたショック波解は、非線形光ファイバー光学において、特にパルス伝搬および光学系における欠陥ダイナミクスのモデル化に有効であることが示唆された。