[論文レビュー] The Newtonian Limit of Geometrostatics

Carla Cederbaum|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、compact support を持つ物質を有する静的・孤立系である幾何的静的理論（geometrostatics）のニュートン的極限を、Jürgen Ehlers のフレーム理論と擬ニュートン重力論を用いて確立する。相対論的質量および重心の新しい準局所的定義を導入し、光速度が無限大に近づく極限でニュートン的対応物に収束することを示し、相対論的重心が弱い重力および低速度の極限においてニュートン的重心に収束することを厳密に証明する。

ABSTRACT

This thesis discusses the Newtonian limit of General Relativity for static isolated systems with compactly supported matter. We call these systems "geometrostatic" to underline their geometric nature. We introduce new quasi-local notions of mass and center of mass that can be read off locally in the vicinity of the matter/black holes. We prove that these notions asymptotically coincide with ADM-mass and the Huisken-Yau CMC-center of mass. Moreover, we prove that they converge to Newtonian mass and center of mass in the Newtonian limit. The Newtonian limit is discussed in the language of Ehlers' frame theory. Furthermore, we prove several uniqueness claims in geometrostatics as well as other geometric and physical properties of these systems. We analyze equipotential sets, provide a pseudo-Newtonian reformulation of geometrostatics, and prove uniqueness of static photon spheres.

研究の動機と目的

• 静的・孤立系で物質がコンパクトに支持される相対論的系に対して、一般相対性理論のニュートン的極限を厳密に確立すること。
• 物質源の近くで計算可能な、物質源の外縁面でのみ定義されるのではなく、局所的（quasi-local）に定義された質量および重心を新たに定義すること。
• Ehlers のフレーム理論と擬ニュートン重力論を用いて、ニュートン的および相対論的概念を統一すること。
• 光速度がゼロに近づく極限において、相対論的質量および重心がそれらのニュートン的対応物に収束することを証明すること。
• ニュートン重力が一般相対性理論の低速度・弱い場の極限として一貫して成り立つための幾何的および物理的基礎を提供すること。

提案手法

• Ehlers のフレーム理論を用いて、ニュートン的および相対論的重力を統一的な枠組みで記述する。
• 共形変換を適用して、幾何的静的理論を擬ニュートン重力論に結びつけ、曲がった時空においてもニュートン的構造を再現可能にする。
• 物質を囲む表面における誘導計量と擬ニュートンポテンシャルに基づく、新たな準局所的重心公式を導入する。
• 波動調和的で漸近的に平坦な座標系を用いることで、幾何的および物理的量の滑らかな収束を保証する。
• グリーンの公式と一様収束の議論を用いて、擬ニュートン重心とニュートン重心を結びつける。
• 重み付きソボレフ空間と漸近的解析を用いて、減衰挙動を制御し、極限の適切な定義を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的・孤立系の相対論的系における重心は、低速度および弱い重力の極限でニュートン的重心に収束するか？
• RQ2 幾何的静的理論における、局所的で幾何学的に定義された重心は、ニュートン的概念と一貫して関係づけられるか？
• RQ3 幾何的静的理論における相対論的質量および重心は、ニュートン的極限においてどのように振る舞い、収束を保証する条件は何か？
• RQ4 擬ニュートン重力論は、幾何的静的理論とニュートン重力論の間の溝を埋める役割を果たすか？
• RQ5 極限において、質量および重心の新しい準局所的定義は、周囲の表面の選び方に依存しないか？

主な発見

• ADM、CMC、Iyer、およびフレーム理論的枠組みによる幾何的静的理論における相対論的重心は、光速度が無限大に近づく極限でニュートン的重心に収束する。
• 擬ニュートン重心は適切に定義されており、周囲の表面の選び方に依存しない。グリーンの公式と発散定理の適用によりこれを証明した。
• 与えられた漸近的条件の下で、擬ニュートン質量の一様収束により、質量のニュートン的極限が厳密に確立された。
• 新しい準局所的重心公式は、物質を囲む表面における誘導計量とポテンシャルを用いて明示的に定義されており、極限においてニュートン的重心と一致する。
• 座標、法線ベクトル、ポテンシャルの一様収束に加え、質量の収束により、重心の収束が保証される。
• 波動調和的で漸近的に平坦な座標系が、ニュートン的極限で一様にデカルト座標系に収束すると仮定すれば、結果は成り立つ。