[論文レビュー] The Non-Backtracking Spectrum of the Universal Cover of a Graph

Omer Angel, Joel Friedman+1 more|ArXiv.org|Dec 2, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、多項式方程式系と固有値半径条件を用いて、有限グラフの普遍被覆の非後退的スペクトルを完全に代数的に特徴づける。スペクトルは、ノルムが1未塔であるこれらの方程式の解によって決定され、非正則グラフの場合、スペクトルが複素平面上で正の測度を持つことがある（正則の場合とは対照的）。主な貢献は、関連するエッジ変数上の行列作用素の固有値半径解析を用いた比系を通じて、スペクトルを効果的に計算するアルゴリズムの確立である。

ABSTRACT

A non-backtracking walk on a graph, $H$, is a directed path of directed edges of $H$ such that no edge is the inverse of its preceding edge. Non-backtracking walks of a given length can be counted using the non-backtracking adjacency matrix, $B$, indexed by $H$'s directed edges and related to Ihara's Zeta function. We show how to determine $B$'s spectrum in the case where $H$ is a tree covering a finite graph. We show that when $H$ is not regular, this spectrum can have positive measure in the complex plane, unlike the regular case. We show that outside of $B$'s spectrum, the corresponding Green function has ``periodic decay ratios.'' The existence of such a ``ratio system'' can be effectively checked, and is equivalent to being outside the spectrum. We also prove that the spectral radius of the non-backtracking walk operator on the tree covering a finite graph is exactly $\sqrt\gr$, where $\gr$ is the growth rate of the tree. This further motivates the definition of the graph theoretical Riemann hypothesis proposed by Stark and Terras \cite{ST}. Finally, we give experimental evidence that for a fixed, finite graph, $H$, a random lift of large degree has non-backtracking new spectrum near that of $H$'s universal cover. This suggests a new generalization of Alon's second eigenvalue conjecture.

研究の動機と目的

• 有限グラフの普遍被覆における非後退的ウォーク作用素のスペクトルを特徴づける。
• スペクトル理論を正則グラフに限らないように拡張し、複素平面上で正の測度をもつ可能性がある非正則ケースを分析する。
• グリーン関数の可逆性と周期的減衰比の系との間の関係を確立する。
• 多項式方程式と固有値半径条件を用いたアルゴリズム的手法により、スペクトルを計算する。

提案手法

• 有向辺でインデックス付けられた非後退的隣接行列 B を用い、非後退的ウォークを数える。
• 作用素 B を普遍被覆 eH に持ち上げ、一般化されたグリーン関数を用いてそのスペクトルを分析する。
• グリーン関数の周期的減衰比を表す比系 {re}e∈E(H) を定義する。
• エッジ重みと比から導かれる要素を持つ行列 R を構成し、その固有値半径 α(r) を計算する。
• eB − λI が可逆であるための必要十分条件が、α(r) < 1 を満たす多項式方程式系の解の存在であることを確立する。
• 核作用素の有界性を活用して、α(r) < 1 をスペクトルへの属するための分類基準として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限グラフの普遍被覆における非後退的スペクトルは、グラフが正則でない場合でも代数的に特徴づけられるか。
• RQ2 ベースグラフが非正則な場合、スペクトルの構造はどのようなものであり、複素平面上で正の測度を持つだろうか。
• RQ3 複素数 λ が普遍被覆における非後退的作用素のスペクトルに属さないかどうかを体系的に判定する方法はあるか。
• RQ4 有限グラフのランダムな大規模リフトにおけるスペクトルは、その普遍被覆のスペクトルとどのように関係するか。
• RQ5 普遍被覆における非後退的作用素の固有値半径は、木の成長率を用いて表現できるか。

主な発見

• 有限グラフの普遍被覆における非後退的作用素のスペクトルは、ノルム条件 α(r) < 1 を満たすエッジ変数 {re} に関する多項式方程式系の可解性によって決定される。
• 非正則グラフの場合、非後退的スペクトルは複素平面上で正の測度を持つことがある。正則の場合とは異なり、スペクトルは区間と円周の和集合に含まれる。
• 普遍被覆における非後退的ウォーク作用素の固有値半径は、正確に √gr に等しく、ここで gr は木の成長率である。
• 数値実験により、有限グラフのランダムな大規模リフトにおける非後退的スペクトルが、その普遍被覆のスペクトルに収束することが示された。
• α(r) < 1 を満たす比系は、eB − λI の可逆性にとって必要かつ十分であり、このような系は効果的に検証可能である。
• α(r) < 1 を満たす一般化された周期的比系の存在は、関連するグリーン関数核の有界性を保証し、スペクトルを特徴づける。