[論文レビュー] The non-existence of bi-Lipschitz embedding of sub-Riemannian manifold in Banach spaces with Radon-Nikodym property

Yonghong Huang, Shanzhong Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、左不変リーマン計量を備えた連結で単連結な非アーベル的ノルム的リー群が、$CD(0,N)$ 条件を満たす $N>1$ の測度付き距離空間に quasi-isometric な埋め込みをもたないことを証明している。主な結果として、一般の非可換度が 2 以上の部分リーマン多様体は、Radon-Nikodym 性質を備えたバナッハ空間への bi-Lipschitz 埋め込みをもたないことが示され、さらにすべての正則部分リーマン多様体が、実数 $K,N$ に対して $N>1$ のとき $CD(K,N)$ を満たさないことも示している。

ABSTRACT

In this paper, we prove that there do not exist quasi-isometric embeddings of connected, simply connected non-abelian nilpotent Lie groups equipped with left invariant Riemannian metrics into a metric measure space satisfying the curvature dimension condition $CD(0,N)$, with $N\in\mathbf{R}$ and $N>1$. The main technical result of this work is the proof of a sub-Riemannian manifold whose generic degree of nonholonomy is not smaller than $2$, can not be bi-Lipschitzly embedded in Banach space with the Radon-Nikodym property (see Definition $2.7$). We also get that every regular sub-Riemannian manifold do not satisfy the curvature dimension condition $CD(K,N)$, where $K,N\in\mathbf{R}$ and $N>1$.

研究の動機と目的

• バナッハ空間の Radon-Nikodym 性質を備えた埋め込みにおける部分リーマン多様体の幾何的制約を調査すること。
• 左不変リーマン計量を備えた連結で単連結な非アーベル的ノルム的リー群が、$N>1$ のとき $CD(0,N)$ を満たす測度付き距離空間に quasi-isometric に埋め込めるかどうかを特定すること。
• 非可換度が埋め込みを妨げる要因として果たす役割を、バナッハ空間の Radon-Nikodym 性質を備えた bi-Lipschitz 埋め込みの観点から分析すること。
• 正則部分リーマン多様体が、実数 $K,N$ に対して $N>1$ のとき $CD(K,N)$ を満たさないことを確立すること。

提案手法

• 非可換度が 2 以上の部分リーマン多様体の幾何的構造に対する技術的解析に依拠する。
• bi-Lipschitz 埋め込みを除外するために、バナッハ空間における Radon-Nikodym 性質の概念を用いる。
• 測度付き距離空間における曲率次元条件 $CD(0,N)$ を適用し、可能な埋め込みを制約する。
• ノルム的リー群の内在的幾何とその左不変計量を用いて、非埋め込み性の結果を導出する。
• 部分リーマン多様体の距離的性質と $CD(K,N)$ 条件を満たす空間の性質を比較する。
• 部分リーマン幾何における一般の非可換度が bi-Lipschitz 埋め込みの可能性に与える影響を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左不変リーマン計量を備えた連結で単連結な非アーベル的ノルム的リー群は、$N>1$ のとき $CD(0,N)$ を満たす測度付き距離空間に quasi-isometric に埋め込めるか？
• RQ2 一般の非可換度が 2 以上の部分リーマン多様体は、Radon-Nikodym 性質を備えたバナッハ空間への bi-Lipschitz 埋め込みをもたないか？
• RQ3 曲率次元条件 $CD(K,N)$ と正則部分リーマン多様体の幾何的構造との関係は何か？
• RQ4 部分リーマン多様体の非可換度が、特定のバナッハ空間への埋め込みをどの程度妨げるか？
• RQ5 すべての正則部分リーマン多様体は、実数 $K,N$ に対して $N>1$ のとき $CD(K,N)$ 条件を満たさないか？

主な発見

• 左不変リーマン計量を備えた連結で単連結な非アーベル的ノルム的リー群は、$N>1$ のとき $CD(0,N)$ を満たす測度付き距離空間に quasi-isometric な埋め込みをもたない。
• 一般の非可換度が 2 以上の部分リーマン多様体は、Radon-Nikodym 性質を備えたいかなるバナッハ空間に対しても bi-Lipschitz 埋め込みをもたない。
• すべての正則部分リーマン多様体は、実数 $K,N$ に対して $N>1$ のとき $CD(K,N)$ を満たさない。
• 部分リーマン多様体の非可換度は、Radon-Nikodym 性質を備えたバナッハ空間への bi-Lipschitz 埋め込みを妨げる上で重要な役割を果たす。
• $N>1$ のとき $CD(0,N)$ 条件は、このような部分リーマン多様体の幾何的構造と不適合である。
• これらの結果により、特定の部分リーマン幾何が Radon-Nikodym 性質を備えたバナッハ空間および $N>1$ の $CD(0,N)$-空間への埋め込みに対して根本的な障害をもつことが確立された。