[論文レビュー] The non linear perturbation of the Kerr spacetime in an external region

Giulio Caciotta, F. Nicolò|ArXiv.org|Aug 29, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ブラックホールの事象の地平線から離れた外部領域において、カー時空の非線形安定性を確立し、初期データがカー時空に十分近い場合に、真空アインシュタイン方程式の解のグローバル存在を証明する。さらに、計量摂動が $ r^{-3} $ より速く減衰すると仮定すると、リーマンテンソルの光円錐成分がピーリング定理に従って減衰することを示し、重力放射物理学で予想される漸近的挙動を確認する。

ABSTRACT

We prove, outside the influence region of a ball of radius $R_0$ centered in the origin of the initial data hypersurface, the existence of global solutions near to Kerr spacetime, provided that the initial data are sufficiently near to those of Kerr; This external region is the "far" part of the outer region of the perturbed Kerr spacetime. Moreover if we assume that the corrections to the Kerr metric decay sufficiently fast, $o(r^{-3})$, we prove that the various null components of the Riemann tensor decay in agreement with the "Peeling theorem".

研究の動機と目的

• 半径 $ R_0 $ の球の外部領域において、初期データがカー時空に近い場合に、真空アインシュタイン方程式の解のグローバル存在を確立すること。
• 摂動時空におけるリーマンテンソル成分の漸近的減衰挙動を分析すること。
• 初期データ摂動が速やかに減衰する条件下で、リーマンテンソル成分の減衰がピーリング定理と一致することを示すこと。
• ミンコフスキー時空に基づく枠組みを超えて、$ J \leq M^2 $ を満たす回転するブラックホールを含むカー時空の安定性結果を拡張すること。

提案手法

• 外部領域における標準的な時空構造を定義するため、二重光円錐 foliation $ \{C(u), \underline{C}(\underline{u})\} $ を用いる。
• 接続係数およびリーマンテンソル成分を制御するため、ブートストラップノルム $ \tilde{\cal Q} $, $ \delta{\cal O} $, および $ \delta{\cal R} $ を採用する。
• 将来の光円錐無限遠点付近の漸近的挙動を扱うために、減衰重み $ r^{3-2/p} |u|^{2+\delta} $ を用いた重み付き $ L^2 $-型ノルムを適用する。
• カー時空における時間的キリングベクトル場の下での計量の挙動を調べるため、変形テンソル解析 $ {}^{(T_0)}\!\pi $ を実装する。
• 曲率成分（$ \chi, \underline{\chi}, \zeta, \omega, \underline{\omega} $ を含む）の詳細なカー時空計算と推定に依存する。
• 非線形安定性を保証するため、計量および第二基本形式補正の $ L^2 $-ノルムによる初期データの小ささ条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが事象の地平線から遠く、速やかに減衰する摂動を受ける場合、カー時空は外部領域で非線形安定性を保つのか？
• RQ2 摂動時空におけるリーマンテンソルの光円錐成分は、ピーリング定理に従って減衰するのか？
• RQ3 ミンコフスキー時空に基づく枠組みを超えて、$ J \leq M^2 $ を満たす回転するカー黑洞に対しても安定性結果を拡張可能か？
• RQ4 減衰率 $ o(r^{-3}) $ がリーマンテンソルのピーリング挙動を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 ブートストラップ法は、外部領域における導関数の損失を制御し、一様な減衰を維持するためにどのように適合可能か？

主な発見

• 初期データがカー時空に十分近い限り、半径 $ R_0 $ の球の外部で、真空アインシュタイン方程式のグローバル解が存在する。
• 完全な出射光円錐超曲面 $ C(u) $ を持つ標準的な二重光円錐 foliation により、時空が foliate され、将来完全性が保証される。
• 計量および第二基本形式の摂動が $ r^{-3} $ より速く減衰する場合、リーマンテンソル成分はピーリング定理が予測する通りに減衰する。
• 外部領域における $ \delta{\cal R} $, $ \delta{\cal O} $, および $ \tilde{\cal Q} $ ノルムの詳細な推定により、リーマンテンソル成分の減衰が確認される。
• カー時空の変形テンソル $ {}^{(T_0)}\!\pi $ は恒等的にゼロであり、時空の定常性が確認され、摂動の制御に寄与する。
• 初期データの小ささは、$ {\cal J}(\Sigma_0, R_0; \delta{{}^{(3)}\!}{\bf g}, \delta{\bf k}) \leq \varepsilon $ というノルムにより定量化され、十分に小さい $ \varepsilon $ に対して非線形安定性が保証される。