[論文レビュー] The non-nef locus in positive characteristic

Mircea Mustaţă|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2011

Glycosylation and Glycoproteins Research参考文献 9被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、特徴的ゼロにおける非ネフ集合の記述を正標数において類似物に拡張し、漸近的乗数イデアルの代わりに漸近的テストイデアルを用いる。Fujitaの消失定理とフロベニウス技法によって可能になる、これらのイデアルによる捩れの均一的グローバル生成性結果を用いて、非ネフ集合が漸近的テストイデアルの消失によって特徴づけられることを証明し、基底集合と消失の順序に関する主要な結果を正標数幾何に拡張する。

ABSTRACT

We give an analogue in positive characteristic of the description of the non-nef locus from \cite{ELMNP}. In this case, the role of the asymptotic multiplier ideals is played by the asymptotic test ideals. The key ingredient is provided by a uniform global generation statement involving twists by such ideals.

研究の動機と目的

• 特徴的ゼロにおける非ネフ集合の記述を、乗数イデアルの代わりにテストイデアルを用いて正標数に拡張すること。
• 正標数における漸近的テストイデアルによる捩れの均一的グローバル生成性に関する定理を確立すること。
• 非ネフ集合が部分多様体に沿って漸近的テストイデアルの消失によって特徴づけられることを証明すること。
• 漸近的消失の順序関数が正標数におけるビッグ錐上で連続であり、極限構成によって擬有効錐へ拡張されることを示すこと。

提案手法

• 特徴的ゼロにおける漸近的乗数イデアルを、正標数におけるそれらの類似物である漸近的テストイデアルに置き換える。
• Fujitaの消失定理とフロベニウス押し出しを用いて、正標数におけるKodaira消失の失敗を補う。
• テストイデアル設定に適応されたCastelnuovo-Mumford正則性の議論を用いてグローバル生成性を達成する。
• 擬有効な除数 $ D $ に対して、$ \sigma_Z(D) = \sup_A \operatorname{ord}_Z(\parallel D+A\parallel) $ を定義し、自明な類をもつイデアル $ A $ における極限を用いる。
• 関数 $ \sigma_Z $ の下半連続性を証明し、$ \mathbf{B}_-(D) $ に含まれないことと $ \sigma_Z(D) = 0 $ との同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における非ネフ集合は、特徴的ゼロにおけるそれと類似した方法でどのように記述できるか？
• RQ2 正標数において基底集合を研究する際に、漸近的乗数イデアルの役割を何が置き換えるか？
• RQ3 Kodaira消失が失敗するにもかかわらず、漸近的テストイデアルによる捩れの均一的グローバル生成性結果は正標数で確立可能か？
• RQ4 正標数において、漸近的消失の順序関数はビッグ錐上で連続か？
• RQ5 正標数における擬有効錐の境界付近で非ネフ集合はどのように振る舞うか？

主な発見

• 非ネフ集合 $ \mathbf{B}_-(D) $ は漸近的テストイデアルの消失によって特徴づけられる：任意の $ m \geq 1 $ に対して $ \tau(\parallel mD\parallel) $ が点 $ x $ で消失しないとき、$ x \notin \mathbf{B}_-(D) $ である。
• 漸近的消失の順序 $ \operatorname{ord}_x(\parallel D\parallel) $ は $ D $ の数的類にのみ依存し、正標数においてビッグ錐へ連続に拡張される。
• 任意のビッグ除数 $ D $ に対して、与えられたネフ性および正則性条件のもとで、$ d \geq \dim X + 1 $ のとき、$ \tau(\lambda \cdot \parallel D\parallel) \otimes \mathcal{O}_X(K_X + E + dH) $ はグローバル生成である。
• $ \sigma_Z(D) $ は、イデアル $ A $ における $ \operatorname{ord}_Z(\parallel D+A\parallel) $ の上界として定義され、擬有効錐上で下半連続である。
• 擬有効除数 $ D $ に対して、$ Z \not\subseteq \mathbf{B}_-(D) $ であることと $ \sigma_Z(D) = 0 $ であること、およびすべての $ m \geq 1 $ に対して $ \tau_+(\parallel mD\parallel) $ が $ Z $ に沿って消失しないこととは同値である。
• 底面が非可算体である場合、$ \mathbf{B}_-(D) $ の無限次元の既約成分の数はピカール数 $ \rho(X) $ によって上界で抑えられる。