[論文レビュー] The Nonassociativity of the Double Minus Operation

Jia Huang, Madison Mickey+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Numerical Methods and Algorithms参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非結合的二重マイナス演算 $ a \ominus b := -a - b $ を用いて、OEIS列 A000975 の新しい組合せ的解釈を提示する。$ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ の括弧の付け方を完全な二分木の構造で分析することで、得られる異なる結果の数が $ A_n $、つまり A000975 の $ n $ 番目の項に等しくなることを示し、完全な二分木におけるリーフの深さの偶奇に基づいて非結合性の定量的測度を確立する。この結果により、A000975 で数えられる新しいオブジェクトの族が得られる。

ABSTRACT

The sequence A000975 in OEIS can be defined by $A_1=1$, $A_{n+1}=2A_n$ if $n$ is odd, and $A_{n+1}=2A_n+1$ if $n$ is even. This sequence satisfies other recurrence relations, admits some closed formulas, and is known to enumerate several interesting families of objects. We provide a new interpretation of this sequence using a binary operation defined by $a\ominus b := -a -b$. We show that the number of distinct results obtained by inserting parentheses in the expression $x_0\ominus x_1\ominus \cdots\ominus x_n$ equals $A_n$, by investigating the leaf depth in binary trees. Our result can be viewed as a quantitative measurement for the nonassociativity of the binary operation $\ominus$.

研究の動機と目的

• 整数列 A000975 の新しい組合せ的解釈を、非結合的二項演算を用いて提供すること。
• 二重マイナス演算 $ a \ominus b = -a - b $ の非結合性を、異なる括弧の付け方の結果の数を数えることで定量的に測ること。
• 括弧の付け方の結果と、$ n+1 $ 個のリーフを持つ完全な二分木のリーフの深さとの間の関係を確立すること。
• 二進数列による深さの偶奇を用いて、$ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ を括弧付けした際のすべての異なる結果を特徴付けること。
• 正の符号の数に基づく refined count を導出し、$ C_{\ominus,n} $ の閉形式表現を提示すること。

提案手法

• 複素数上で非結合的である二重マイナス演算 $ a \ominus b := -a - b $ を定義する。
• $ x_0 \ominus \cdots \ominus x_n $ の括弧の付け方を、$ n+1 $ 個のリーフを持つ完全な二分木でモデル化する。
• 各リーフに深さ（根からの辺の数）を割り当て、最終式における各 $ x_i $ の符号をそのリーフの深さの偶奇に基づいて決定する。
• 各 $ x_i $ の符号パターン $ (-1)^{d_i} $ が、木における対応するリーフの深さの偶奇にのみ依存することを証明する。
• 母関数と単位根を用いて、3 を法とする二項係数の和を評価し、$ C_{\ominus,n} $ の閉じた式を得る。
• $ n \geq 2 $ に対して $ C_{\ominus,n} = 2^n - 1 - C_{\ominus,n-1} $ という再帰関係を確立し、$ A_n $ の再帰関係と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非結合的演算 $ a \ominus b = -a - b $ の下で、$ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ を括弧付けした際に得られる異なる結果の数はいくつか？
• RQ2 最終式における変数の符号パターンを特徴付ける組合せ的構造は何か？
• RQ3 正の符号の数に基づく refined count を用いて、異なる結果の数を表現できるか？
• RQ4 括弧の付け方の結果と、A000975 で数えられる既知の他のオブジェクトとの間に直接の全単射が存在するか？
• RQ5 $ n+1 $ 個のリーフを持つすべての完全な二分木における平均リーフの深さは何か？

主な発見

• $ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ を括弧付けした際の異なる結果の数は、ちょうど $ A_n $、すなわち OEIS 列 A000975 の $ n $ 番目の項に等しい。
• 最終式における各変数 $ x_i $ の符号は、対応する木における $ i $ 番目のリーフの深さ $ d_i $ を用いて $ (-1)^{d_i} $ で与えられる。
• 正の符号をちょうど $ r $ 個持つ結果の refined count $ C_{\ominus,n,r} $ は、$ 1-n \pmod{3} $ に合同な添え字の二項係数の和として与えられ、修正されたパスカルの三角形を形成する。
• 総数 $ C_{\ominus,n} $ は、$ n \geq 2 $ に対して再帰関係 $ C_{\ominus,n} = 2^n - 1 - C_{\ominus,n-1} $ を満たし、$ A_n $ の再帰関係と一致する。
• 単位根を用いた解析により、閉形式表現 $ C_{\ominus,n} = \left\lfloor \frac{2^{n+1}}{3} \right\rfloor $ が導かれ、$ A_n $ との等価性が確認される。
• すべての異なる結果は、$ i $ 番目のリーフの深さの偶奇を表す $ d_i $ を持つ、適切な二進数列 $ (d_0, \ldots, d_n) \in \{0,1\}^{n+1} $ と一対一に対応する。