[論文レビュー] The Noncommutative Geometry of Graph $C^*$-Algebras I: The Index Theorem

David Pask, Adam Rennie|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、忠実なゲージ不変トレースを持つグラフ $C^*$-代数に対して、ゲージ作用と固定点代数をスカラーとして用い、$(1,\infty)$-summable な半有限なスペクトル三重項を構成する。半有限な局所的インデックス定理を用いて数値的インデックスペアリングを確立し、$K_1(C^*(E))$ とのペアリングが固定点代数上のトレースによって誘導される $K_0$-写像に等しいことを示し、代数の同型類よりも細かい不変量をもたらす。

ABSTRACT

We investigate conditions on a graph $C^*$-algebra for the existence of a faithful semifinite trace. Using such a trace and the natural gauge action of the circle on the graph algebra, we construct a smooth $(1,\infty)$-summable semfinite spectral triple. The local index theorem allows us to compute the pairing with $K$-theory. This produces invariants in the $K$-theory of the fixed point algebra, and these are invariants for a finer structure than the isomorphism class of $C^*(E)$.

研究の動機と目的

• グラフ $C^*$-代数の非可換幾何的枠組みを、半有限なスペクトル三重項を用いて構築すること。
• 忠実なゲージ不変トレースを持つグラフ $C^*$-代数に対して、半有限な設定にインデックス定理を拡張すること。
• $K_1(C^*(E))$ とスペクトル三重項との間の数値的インデックスペアリングを計算し、固定点代数の $K_0$-理論と関連付けること。
• 得られるインデックス不変量が、$C^*(E)$ の同型類よりも細かい代数的構造を同定できることを示すこと。

提案手法

• 局所的に有限で源のないグラフに対して、$S^1$ ゲージ作用の下での固定点代数 $F$ をスカラーとして用い、$C^*(E)$-$F$ に対する奇数のカスパロフモジュール $(X,V)$ を構成する。
• 与えられたゲージ不変トレース $\tau$ を用いて、$C^*$-$F$-加群 $X$ の自己準同型代数上の自然な忠実な半有限で下半連続なトレース $\tilde{\tau}$ を定義する。
• $X$ と作用素 $\mathcal{D}$ を用いて、$C^*(E)$ の滑らかな部分代数 ${\mathcal{A}} \subset C^*(E)$ に対して、$(1,\infty)$-summable な半有限なスペクトル三重項 $({\mathcal{A}},{\mathcal{H}},{\mathcal{D}})$ を構築する。
• 半有限な局所的インデックス定理を適用し、数値的インデックスペアリング $\langle K_1(C^*(E)), ({\mathcal{A}},{\mathcal{H}},{\mathcal{D}}) \rangle$ を計算する。
• インデックスペアリングが $\tilde{\tau}_* \langle K_1(C^*(E)), (X,V) \rangle$ に等しいことを示し、ここで $\tilde{\tau}_*$ は $\tilde{\tau}$ によって誘導される $K$-理論写像である。
• 固定点代数 $F$ におけるインデックスクラスを用いて、同型でないが $C^*(E)$ が同型となるグラフ $C^*$-代数を区別する不変量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なスペクトル三重項の公理が成立しない場合でも、忠実なゲージ不変トレースを持つグラフ $C^*$-代数に対して半有限なスペクトル三重項を構成できるか？
• RQ2 半有限な局所的インデックス定理は、このようなスペクトル三重項にどのように適用され、$K_1(C^*(E))$ とのインデックスペアリングはどのような結果をもたらすか？
• RQ3 半有限トレースを用いて計算されたインデックスペアリングは $KK$-同値性に関して不変か？ また、$C^*(E)$ の同型類を越えてより細かい構造を同定できるか？
• RQ4 ゲージ作用の下での固定点代数 $F$ は、適切なコンパクト性とスカラー構造を定義するために果たす役割は何か？

主な発見

• 半有限なスペクトル三重項と $K_1(C^*(E))$ の間の数値的インデックスペアリングは、$\tilde{\tau}_*$ が自己準同型代数上の自然な半有限トレースによって誘導される $K$-理論写像であることを用いて、$\tilde{\tau}_* \langle K_1(C^*(E)), (X,V) \rangle$ に等しい。
• 本構成により、忠実なゲージ不変トレースを持つ任意のグラフ $C^*$-代数に対して、$(1,\infty)$-summable な半有限なスペクトル三重項が得られ、標準的なスペクトル三重項の枠組みを超えた非可換幾何の適用範囲が拡張される。
• インデックスクラスは $K_0(F)$ に属し、ここで $F$ は $S^1$ ゲージ作用の下での固定点代数である。このクラスは $C^*(E)$ の同型類を越えたより細かい構造の不変量である。
• 本手法により、グラフ $C^*$-代数に対して新たな $K$-理論的不変量が得られ、同型な $C^*(E)$ を持つがインデックスペアリングが異なる非同型な代数の例を用いてその有効性が示された。
• ペアリングは双線形であり、$KK$-同値性を尊重する。インデックスは、より大きな加群上の $PuP$ の核と余核を用いて定義され、スペクトルフローの一般化である。
• 非単位的グラフ $C^*$-代数に対しても、その擬局所構造のおかげで本構成は有効であり、滑らかな局所代数技法の適用が可能である。