[論文レビュー] The Noncommutative Geometry of k-graph C*-Algebras

David Pask, Adam Rennie+1 more|ArXiv.org|Dec 19, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、k-図のグラフトレースと関連付けることによって、k-図 C*-代数における忠実な半有限トレースの存在条件を確立する。このような代数に対して (k,∞)-summable な半有限スペクトル三重対を構成し、KK理論を用いて半有限インデックスペアリングを計算する。その結果、T^k作用の固定点代数の K-理論値をとる KK-インデックスに等しいことが示され、半有限インデックス理論と KK理論との深い関係が明らかになる。

ABSTRACT

This paper is comprised of two related parts. First we discuss which k-graph algebras have faithful gauge invariant traces, where the gauge action of $\T^k$ is the canonical one. We give a sufficient condition for the existence of such a trace, identify the C*-algebras of k-graphs satisfying this condition up to Morita equivalence, and compute their K-theory. For k-graphs with faithful gauge invariant trace, we construct a smooth $(k,\infty)$-summable semifinite spectral triple. We use the semifinite local index theorem to compute the pairing with K-theory. This numerical pairing can be obtained by applying the trace to a KK-pairing with values in the K-theory of the fixed point algebra of the $\T^k$ action. As with graph algebras, the index pairing is an invariant for a finer structure than the isomorphism class of the algebra.

研究の動機と目的

• k-図 C*-代数が忠実で、半有限で、下半連続的かつゲージ不変なトレースをもつための条件を特定すること。
• グラフ代数から k-図代数へと半有限スペクトル三重対の構成を一般化すること。
• KK理論を用いて半有限インデックスペアリングを計算し、T^k作用の固定点代数の K-理論と関連付けること。
• k-図代数の文脈において、半有限インデックス理論と KK理論との関係を調査すること。

提案手法

• k-図 Λ に忠実なグラフトレースが存在することと、C*(Λ) に忠実なゲージ不変トレースが存在することを関連付けることで、その存在を特徴付ける。
• シンクのない局所的有限かつ局所的凸な k-図に対して、カスパロフモジュールを構成し、k が偶数のときそれがスペクトル三重対となるようにする。
• k-図 C*-代数上の T^k作用を用いて、トーラス T^k からのディラック作用素を「押し上げ」、k-図代数上のディラック作用素を定義する。
• スペクトル三重対の一部として、T^k作用によるグラフ代数の交叉積の役割を果たすフォンノイマン代数を構築する。
• 半有限局所インデックス定理を適用して、K-理論とのインデックスペアリングを計算する。
• インデックスペアリングを、T^k作用の固定点代数の K-理論値をとる KKペアリングと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-図代数が忠実で、半有限で、ゲージ不変なトレースをもつための条件は何か？
• RQ2 このようなトレースをもつ k-図 C*-代数に対して、どのように半有限スペクトル三重対を構成できるか？
• RQ3 この文脈において、半有限インデックスペアリングと KK理論との関係は何か？
• RQ4 k-図代数上の T^k作用は、ディラック作用素の構成をどのように支援するか？
• RQ5 半有限局所インデックス定理によって計算されたインデックスペアリングは、KK-インデックスとして表現可能か？

主な発見

• k-図代数 C*(Λ) が忠実で、半有限で、下半連続的かつゲージ不変なトレースをもつための必要十分条件は、k-図 Λ が忠実なグラフトレースをもつことである。
• 忠実なグラフトレースをもつ k-図に対して、本稿は (k,∞)-summable な半有限スペクトル三重対を構成する。
• K-理論との半有限インデックスペアリングは、T^k作用の固定点代数の K-理論値をとる KK-インデックスに等しい。
• この構成により、任意の整数次元 k ≥ 1 に対して、無限個の (半有限) スペクトル三重対の例が得られる。
• 忠実なグラフトレースをもつ k-図代数は、部分群 G ⊆ ℤ^k に対する C*(G) の直和とモラタ同値であり、したがって 0 から k のランクのトーラス上の連続関数の直和とも同値である。
• このような k-図代数の K-理論は、端成分への分解を用いて計算した結果、ランク l_v ≤ k のトーラスの K-理論の直和と同型である。