[論文レビュー] The nonconforming virtual element method

Blanca Ayuso de Dios, Konstantin Lipnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、一般の多角形・多面体メッシュ上での2階楕円問題に対して、非適合仮想有限要素法（VEM）を導入し、非多項式基底関数の明示的計算を必要とせずに、任意の次数の精度を達成できる。この手法はエネルギーノルムおよびL²ノルムにおいて最適収束を達成し、[27]におけるミメティック有限差分スキームのクラスと代数的に同等である。

ABSTRACT

We introduce the nonconforming Virtual Element Method (VEM) for the approximation of second order elliptic problems. We present the construction of the new element in two and three dimensions, highlighting the main differences with the conforming VEM and the classical nonconforming finite element methods. We provide the error analysis and establish the equivalence with a family of mimetic finite difference methods.

研究の動機と目的

• 一般の多角形・多面体メッシュ上での2階楕円問題に対して、任意の次数の精度を達成できる非適合仮想有限要素法（VEM）を開発すること。
• 古典的非適合有限要素法の制限を克服し、すべての多項式次数 k ≥ 1 および任意の要素形状（凸でないものや退化した要素を含む）を統一的に取り扱えるように構築すること。
• 標準的な関数解析的ツールを用いて収束解析が可能な理論的枠組みを確立すること、特に複雑なメッシュに対しても有効であること。
• 提案されたVEMと[27]のミメティック有限差分（MFD）スキームとの代数的同等性を示し、多角形／多面体メッシュ離散化における2つの代表的アプローチを結びつけること。
• 非多項式基底関数の明示的計算を避けるための、一貫性・安定性に優れた統一的かつ安定な定式化を提供すること。

提案手法

• 局所仮想有限要素空間を、多項式空間とある偏微分方程式を満たす調和的関数類の空間の和として構築し、後者の明示的評価を一切行わない。
• 多項式空間への一致する射影と次数の自由度のみを用いて、グローバルなVEM双一次形式を定義し、一貫性と安定性を保証する。
• 対称正定値行列 S を用いた安定化項を導入し、離散問題が適切に定義され、安定したまま保たれることを保証する。
• 仮想関数の勾配を多項式空間に射影する射影演算子 Π∇ を用い、非多項式部の明示的知識なしに双一次形式を計算可能にする。
• 双一次形式が次数 k の多項式上では正確な内積と一致する一貫性条件を満たすことで、最適近似性質が保証される。
• 安定化項を適切に選択した場合、VEMの剛性行列がMFD行列と一致することを示し、VEMとMFDスキームとの同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多角形・多面体メッシュ（非凸・退化要素を含む）上で、任意の次数の精度を達成できる非適合仮想有限要素法を構築可能か？
• RQ2 すべての多項式次数 k ≥ 1 を統一的に取り扱えるように、古典的非適合有限要素法で一般的なケース別構築を避けるVEMの定式化は可能か？
• RQ3 非適合VEMと既存のミメティック有限差分（MFD）スキーム（特に[27]の3次元MFDスキーム）との関係は何か？
• RQ4 非適合性および非計算可能な基底関数の使用にもかかわらず、標準的な関数解析的ツールを用いてVEMを解析可能か？
• RQ5 VEMとMFD法における安定化項が一致する条件は何か？また、この同等性の代数的構造はどのようなものか？

主な発見

• 非適合VEMは、任意の多項式次数 k ≥ 1 に対して、エネルギーノルムおよびL²ノルムで最適収束率を達成する。
• 本手法は、形状正則な一般の多角形・多面体メッシュ（非凸・退化要素を含む）に適用可能であり、特別な処理を要しない。
• VEMの双一次形式は、次数の自由度と射影のみを用いて構築され、非多項式基底関数の明示的計算を回避する。
• VEMは、安定化項を適切に選択した場合、[27]のミメティック有限差分スキームと代数的に同等であり、同じ剛性行列を共有する。
• VEMの安定化項は、適切な行列 S の選択によりMFDの安定化項と同等にできるし、逆も成り立ち、両者の安定化戦略の間には一対一の対応関係が確立される。
• 本手法はミメティックフレームワークの頑健性を継承するとともに、仮想有限要素法の理論的明確さと柔軟性の利点も得ている。